泊里雅科夫作用量

在物理学中， 泊里雅科夫作用（Polyakov action）是二维共形场论的作用量，它描述了弦理论中的世界面。斯坦利·德赛尔和布鲁诺·朱米诺发现了这个作用量，但是这个作用量以亚历山大·泊里雅科夫的名字命名，因为他将这个作用量应用于弦理论（Quantum geometry of the bosonic string, Physics Letters B, 103, 1981, p. 207；玻色弦的量子几何）。泊作用量是

${\mathcal {S}}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma )$

$T$ 是弦的张力，$g_{\mu \nu }$ 是目标流形的度量张量，$h_{ab}$ 是世界面的距离函数，$h^{ab}$ 是反函数，以及 $h=\det(h_{\alpha \beta })$ 。S也是一个非线性σ模型。

对称性

通过下面的变换，S是不变量：

• 庞加莱群（全球）
• 世界面微分同胚（局部）
• Weyl变换（局部）
• 共形变换（共形场论）

与南部-后藤作用量的关系

压力-能量张量是

${\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}=T_{ab}=0$

度量张量 $h^{ab}$的欧拉–拉格朗日方程是

$T^{ab}={\frac {-2}{\sqrt {-h}}}{\frac {\delta S}{\delta h_{ab}}}$

而且

$\delta {\sqrt {-h}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}h_{ab}\delta h^{ab}$

所以

${\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}={\frac {T}{2}}{\sqrt {-h}}\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)$

其中 $G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }$ 。则

$T_{ab}=T\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)=0$

$G_{ab}={\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}$

$G=\mathrm {det} \left(G_{ab}\right)={\frac {1}{4}}h\left(h^{cd}G_{cd}\right)^{2}$

若使用

${\sqrt {-h}}={\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}$

则S成为南后作用量：

$S={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}G_{ab}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}h^{ab}G_{ab}=T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-G}}$

因为S是线性的，P作用的量子化过程比较容易。

参见

• D膜
• 爱因斯坦–希尔伯特作用量

参考文献

• Polchinski (Nov, 1994). What is String Theory, NSF-ITP-94-97, 153pp, arXiv:hep-th/9411028v1
• Ooguri, Yin (Feb, 1997). TASI Lectures on Perturbative String Theories, UCB-PTH-96/64, LBNL-39774, 80pp, arXiv:hep-th/9612254v3