南部-后藤作用

南部-后藤作用量是玻色弦理论中最简单的作用量之一。这个作用量以南部阳一朗和後藤鉄男（日语：後藤鉄男／ごとうてつお ^{Gotō Tetsuo}）这两个日本物理家的名字命名。

南后作用量等于世界面的面积：

${\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}A=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}.$

狭义相对论的作用量

若

$-ds^{2}=-(c\,dt)^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\$

相对论的作用量是下面的泛函：

$S=-mc\int ds.$

最小作用量原理说经典方程说泛函导数等于0：

$\delta S=0.$

量子相对论用泛函积分

$Z=\int \exp(iS)$

世界面

设时空是d+1维的：

$x=(x^{0},x^{1},x^{2},\ldots ,x^{d}).$

($\tau$, $\sigma$)是世界面的参数。

$X(\tau ,\sigma )=(X^{0}(\tau ,\sigma ),X^{1}(\tau ,\sigma ),X^{2}(\tau ,\sigma ),\ldots ,X^{d}(\tau ,\sigma )).$

设 $\eta _{\mu \nu }$ 是 $(d+1)$维时空的距离函数，则

$g_{ab}=\eta _{\mu \nu }{\frac {\partial X^{\mu }}{\partial y^{a}}}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial y^{b}}}\$

是世界面的距离函数。$a,b=0,1$ 而 $y^{0}=\tau ,y^{1}=\sigma$。世界面的面积 ${\mathcal {A}}$ 是

$\mathrm {d} {\mathcal {A}}=\mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}$

其中$\mathrm {d} ^{2}\Sigma =\mathrm {d} \sigma \,\mathrm {d} \tau$ ， $g=\mathrm {det} \left(g_{ab}\right)\$。若

${\dot {X}}={\frac {\partial X}{\partial \tau }}$

$X'={\frac {\partial X}{\partial \sigma }},$

则距离函数 $g_{ab}$是

$g_{ab}=\left({\begin{array}{cc}{\dot {X}}^{2}&{\dot {X}}\cdot X'\\X'\cdot {\dot {X}}&X'^{2}\end{array}}\right)\$

$g={\dot {X}}^{2}X'^{2}-({\dot {X}}\cdot X')^{2}$

南后作用

南后作用是

${\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}A=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}.$

使用上文的距离函数

${\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {{\dot {X}}^{2}-{X'}^{2}}},$

或

${\mathcal {S}}=-{\frac {1}{4\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma ({\dot {X}}^{2}-{X'}^{2}).$

这是上文相对论作用量的二维推广。

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