比例論

在數學中，一個等比關係（proportion）或比例式，指的是兩個比例（proportionality 或 ratio）的相等關係，記為 $a:b=c:d$ ；亦即，${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$。比例論（theory of proportion）是研究比例與等比關係的理論。

歷史

畢達哥拉斯學派的比例論

畢達哥拉斯學派發現了不可通約數（無理數）${\sqrt[{}]{2}}$，這破壞了他們的比例論：

如果兩個物體的比例是相同的，以數學式來表示，是一個等比關係 $a:b=c:d$。其中，$a,b,c,d$ 是正整數。而且，存在一個正整數 $n$ 使得 $a=nc$ 與 $b=nd$。

無理數的存在，表示物體的比例可能無法以正整數來表示，這破壞了他們以正整數來描述自然規律的哲學。

尤得塞斯的比例論

為了挽救比例論，尤得塞斯提出了以幾何量為基礎的比例論，被歐幾里得收錄在《幾何原本》的第五冊中。其中的第五條定義是其比例論的核心：

$a:b=c:d$ 若且唯若底下三個等式關係成立：

$ma<nb\implies mc<nd$

$ma=nb\implies mc=nd$

$ma>nb\implies mc>nd$

其中 $m,n$ 為正整數（幾何量的整倍數）。

這個定義迴避了數系的規範，因此，即使 $a,b,c,d$ 是無理數，等比關係也可以成立。

參考

• Thomas Bradwardine: A View of Time and a Vision of Eternity in Fourteenth Century Thought, Edith Wilks Dolnikowski
• A History of Mathematics, Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach

參見

• 比例
• 比