比例论

在数学中，一个等比关系（proportion）或比例式，指的是两个比例（proportionality 或 ratio）的相等关系，记为 $a:b=c:d$ ；亦即，${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$。比例论（theory of proportion）是研究比例与等比关系的理论。

历史

毕达哥拉斯学派的比例论

毕达哥拉斯学派发现了不可通约数（无理数）${\sqrt[{}]{2}}$，这破坏了他们的比例论：

如果两个物体的比例是相同的，以数学式来表示，是一个等比关系 $a:b=c:d$。其中，$a,b,c,d$ 是正整数。而且，存在一个正整数 $n$ 使得 $a=nc$ 与 $b=nd$。

无理数的存在，表示物体的比例可能无法以正整数来表示，这破坏了他们以正整数来描述自然规律的哲学。

尤得塞斯的比例论

为了挽救比例论，尤得塞斯提出了以几何量为基础的比例论，被欧几里得收录在《几何原本》的第五册中。其中的第五条定义是其比例论的核心：

$a:b=c:d$ 当且仅当底下三个等式关系成立：

$ma<nb\implies mc<nd$

$ma=nb\implies mc=nd$

$ma>nb\implies mc>nd$

其中 $m,n$ 为正整数（几何量的整倍数）。

这个定义回避了数系的规范，因此，即使 $a,b,c,d$ 是无理数，等比关系也可以成立。

参考

• Thomas Bradwardine: A View of Time and a Vision of Eternity in Fourteenth Century Thought, Edith Wilks Dolnikowski
• A History of Mathematics, Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach

参见

• 比例
• 比