比例论
在数学中,一个等比关系(proportion)或比例式,指的是两个比例(proportionality 或 ratio)的相等关系,记为 ;亦即,。比例论(theory of proportion)是研究比例与等比关系的理论。
历史
毕达哥拉斯学派的比例论
毕达哥拉斯学派发现了不可通约数(无理数) ,这破坏了他们的比例论[1]:
- 如果两个物体的比例是相同的,以数学式来表示,是一个等比关系 。其中, 是正整数。而且,存在一个正整数 使得 与 。
无理数的存在,表示物体的比例可能无法以正整数来表示,这破坏了他们以正整数来描述自然规律的哲学。
尤得塞斯的比例论
为了挽救比例论,尤得塞斯提出了以几何量为基础的比例论,被欧几里得收录在《几何原本》的第五册中。其中的第五条定义是其比例论的核心:
- 若且唯若底下三个等式关系成立:
- 其中 为正整数(几何量的整倍数)。
这个定义回避了数系的规范,因此,即使 是无理数,等比关系也可以成立。
参考来源
- ^ Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times Vol 1, page 68
参考
- Thomas Bradwardine: A View of Time and a Vision of Eternity in Fourteenth Century Thought, Edith Wilks Dolnikowski
- A History of Mathematics, Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach