拉比周期

物理学中,拉比周期是在振荡外场中的二能级量子体系周期性行为。一个二能级系统具有两个可能的状态,如果状态不是简并的,当吸收一份能量以后,体系可以被激发。

这种效应在量子光学核磁共振量子计算中非常重要,它是以伊西多·伊萨克·拉比(Isidor Isaac Rabi)的名字命名的。

当一个原子(或者其它二能级体系)被一束相干照射的时候,它将周期性地吸收光子并透过受激发射重新将光子发射出来,这样一个周期称为拉比周期,它的倒数称为拉比频率英语Rabi frequency

这种机制是量子光学的基础,其模型的建立可以依据杰恩斯-卡明斯模型布洛赫矢量形式。

例如,对于频率受外部电磁场调制到激发态的二能级原子(该原子的电子可以处于激发态或者基态),利用布洛赫方程可以得到,原子处于激发态的机率为 ,其中拉比频率英语Rabi frequency

更一般地,可以考虑一个没有本征态的二能级体系,如果这个体系初态位于其中一个能级,时间演化将导致每个能级的态密度按照某个特征频率振荡,其角频率也称为拉比频率英语Rabi frequency

数学处理

拉比效应的数学细节请参见拉比问题英语Rabi_problem。 例如,若将电磁场频率调至激发能,并于电磁场当中置入一个双态原子(该原子之电子可以处于激发态或基态),那么处于激发态原子之概率可以从Bloch方程得出:

 

 是拉比频率。

更一般而言,我们可以考虑一种,两个能级都不是能量本征态的系统 。因此,如果在其中一个能级对系统初始化,则时间演化将使每个能级的总粒子数以某个特征频率振荡,其角频率[1]也称为拉比频率。 该双态量子系统的状态可以表示为二维希尔伯特空间复矢量 ,这意味着每个状态矢量  是以标准的复数坐标表示。

   是坐标。[2]

如果矢量归一化,   的关联为  。 基矢量表示为  

所有与该系统相关的可观测物理量均为2   2埃尔米特矩阵 ,这表示系统的哈密顿量也是相似矩阵。

如何在量子系统中准备振荡实验

可以透过以下步骤建构振荡实验:[3]

  1. 准备系统,使之处于固定状态;例如  
  2. 哈密顿量H下让态随时间t自由演化
  3. 求出状态为 的概率 P(t)

如果 是H的本征态且P(t)=1 ,那么就不会产生振荡。此外,如果两个态  皆为简并态,那么包括 在内的所有态皆为H的本征态。因此也不会产生振荡。

另一方面,若H无简并本征态,且初态不是本征态,则振荡将会产生。 双态系统哈密顿量的最一般形式给定如下

 

  是实数。 这个矩阵可以分解为

 

 是2   2单位矩阵, 泡利矩阵 。 尤其是在与时间无关的情况下,这种分解能够简化系统分析,其中  是常数。考虑置于磁场  之中的自旋1/2粒子。该系统的相互作用能量算符为

  

 是粒子磁矩的大小,  旋磁比 泡利矩阵之矢量。此处哈密顿量之本征态是 ,而  具有对应的本征值  。 我们可以在系统处于状态 下,给出找到任意状态 之概率 。在 的时刻,让系统处于准备状态  。 注意到  的本征态 :

 

此处的哈密顿量与时间无关。 因此,透过求解平稳的薛定谔方程,在经过时间t之后,状态演变为  ,带有系统总能量  。 因此经过时间t之后,状态成为:

 

现在假设在t时刻,对x方向上的自旋进行测量。 下式给出测量到自旋向上的概率:

 

 是特征角频率,假设 的情形,给定 [4] 在这种情况下,当系统最初自旋是在 方向,那么x方向发现自旋向上的概率会随著时间 而振荡。 同样,如果我们测量 方向,那么所测量到的系统自旋为 之概率为  。在 简并情形下 ,特征频率为0,无振荡发生。

留意到,如果系统处于给定哈密顿量的本征态,则系统将维持在该状态,保持不变。

这同样也适用于时间相依的哈密顿函数。 以  为例;如果系统的初始自旋状态为  ,那么在 时刻,自旋在y方向测量结果为 之概率为 [5]

以泡利矩阵推导非摄动过程之拉比公式

考虑以下形式的哈密顿量

 

该矩阵的特征值为

  

此处  。因此我们可以取  

现在,由方程 : ,我们可以得到 的特征矢量。

因此,  

对特征矢量采用归一化条件 

因此  

  。所以 

我们得到  ,即  。取任意相角 ,我们可以写下  . 同理可证, 

所以特征值 之特征矢量为 

由于总相角较无关紧要,我们可以写下  

类似地, 特征能量 之特征矢量为  

从这两个方程,我们可以写出

 

 

假设系统开始时在时刻  的状态是 ,也就是说, 。经过时间t之后,状态演变为

 

如果系统处于  之中的某一个本征态,那么它将会维持在同一个本征态。然而,对于如上所示的一般初始状态而言,时间演化并不显然。

系统在时刻t处于状态 的概率幅为  

系统当前处于 ,而之后处于任意态  的概率为

 

这可以简化为

 .........(1)

这表明, 当系统最初处于状态 时,该系统最终处于状态 的概率是有限的。概率是以角频率  振荡,而 是系统唯一的玻尔频率,又称为拉比频率英语Rabi frequency。而式子(1)亦可称为拉比公式。在时间t之后,系统处于状态 的概率为 ,同样也是振荡形式。

这些二能级系统的振荡称为拉比振荡,在许多问题之中都会发生这种振荡,如中微子振荡电离氢分子英语Hydrogen_ion量子计算氨激微波等等。

量子计算中的拉比振荡

任何双态量子系统都可以用来模拟量子比特。现在考虑一个自旋 系统,将磁矩 置于经典磁场 之中。令系统旋磁比 ,因此磁矩 ,可以给出该系统的哈密顿量 ,此处  

透过上述步骤,我们可以求得哈密顿量的特征值和特征矢量。现在,让量子比特在 时刻处于量子态 ,那么,在 时刻,量子比特处于量子态 的概率为  ,这种现象就称作拉比振荡。因此,量子比特会在量子态  之间振荡。振荡的振幅会在 达到最大,而这即为共振条件。共振时的跃迁概率为 ,要从一个量子态 跃迁到另一个量子态 ,只需调整旋转场作用的时间 满足 或是 就充分了,这叫做“ 脉冲”。如果选择的时间介于0和 之间,我们会得到  的叠加态。尤其是当 的时候,我们会得到一个“ 脉冲”,它的作用是造成 量子态跃迁,而这个操作在量子计算中起到至关重要的作用。当对镭射场中的二能级原子进行大致满意的旋转波近似时,方程基本上是相同的。然后两个原子能级之间的能量差 ( 是镭射波的频率)及拉比频率 ,与原子的跃迁电偶极矩 与镭射波电场 的乘积成正比,也就是 。总而言之,拉比振荡是用于操纵量子比特的基本过程,而这个振荡是在适当调整的时间间隔内,借由将量子比特暴露在周期性的电场或磁场中来获得[6]

相关条目

外部链接

A Java applet that visualizes Rabi Cycles of two-state systems (laser driven).

extended version of the applet. Includes electron phonon interaction.

  1. ^ Encyclopedia of Laser Physics and Technology - Rabi oscillations, Rabi frequency, stimulated emission. [2020-04-28]. (原始内容存档于2020-05-08). 
  2. ^ Griffiths, David. Introduction to Quantum Mechanics 2nd. 2005: 341. 
  3. ^ Sourendu Gupta. The physics of 2-state systems (PDF). Tata Institute of Fundamental Research. 27 August 2013 [2020-04-28]. (原始内容存档 (PDF)于2019-07-16). 
  4. ^ Griffiths, David (2012). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) p. 191.
  5. ^ Griffiths, David (2012). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) p. 196 ISBN 978-8177582307
  6. ^ A Short Introduction to Quantum Information and Quantum Computation by Michel Le Bellac, ISBN 978-0521860567