拉比周期
在物理学中,拉比周期是在振荡外场中的二能级量子体系的周期性行为。一个二能级系统具有两个可能的状态,如果状态不是简并的,当吸收一份能量以后,体系可以被激发。
这种效应在量子光学、核磁共振和量子计算中非常重要,它是以伊西多·伊萨克·拉比(Isidor Isaac Rabi)的名字命名的。
当一个原子(或者其它二能级体系)被一束相干光照射的时候,它将周期性地吸收光子并透过受激发射重新将光子发射出来,这样一个周期称为拉比周期,它的倒数称为拉比频率。
这种机制是量子光学的基础,其模型的建立可以依据杰恩斯-卡明斯模型和布洛赫矢量形式。
例如,对于频率受外部电磁场调制到激发态的二能级原子(该原子的电子可以处于激发态或者基态),利用布洛赫方程可以得到,原子处于激发态的机率为 ,其中为拉比频率。
更一般地,可以考虑一个没有本征态的二能级体系,如果这个体系初态位于其中一个能级,时间演化将导致每个能级的态密度按照某个特征频率振荡,其角频率也称为拉比频率。
数学处理
拉比效应的数学细节请参见拉比问题。 例如,若将电磁场频率调至激发能,并于电磁场当中置入一个双态原子(该原子之电子可以处于激发态或基态),那么处于激发态原子之机率可以从Bloch方程得出:
是拉比频率。
更一般而言,我们可以考虑一种,两个能阶都不是能量本征态的系统 。因此,如果在其中一个能阶对系统初始化,则时间演化将使每个能阶的总粒子数以某个特征频率振荡,其角频率[1]也称为拉比频率。 该双态量子系统的状态可以表示为二维希尔伯特空间复向量 ,这意味着每个状态向量 是以标准的复数坐标表示。
和 是坐标。[2]
如果向量归一化, 和 的关联为 。 基向量表示为 和
如何在量子系统中准备振荡实验
- 准备系统,使之处于固定状态;例如
- 在哈密顿量H下,让态随时间t自由演化
- 求出状态为 的机率 P(t)
如果 是H的本征态且P(t)=1 ,那么就不会产生振荡。此外,如果两个态 和 皆为简并态,那么包括 在内的所有态皆为H的本征态。因此也不会产生振荡。
另一方面,若H无简并本征态,且初态不是本征态,则振荡将会产生。 双态系统哈密顿量的最一般形式给定如下
和 是实数。 这个矩阵可以分解为
是2 2单位矩阵, 是泡利矩阵 。 尤其是在与时间无关的情况下,这种分解能够简化系统分析,其中 和 是常数。考虑置于磁场 之中的自旋1/2粒子。该系统的交互作用能量算符为
,
是粒子磁矩的大小, 是旋磁比 , 是泡利矩阵之向量。此处哈密顿量之本征态是 ,而 和 具有对应的本征值 。 我们可以在系统处于状态 下,给出找到任意状态 之机率 。在 的时刻,让系统处于准备状态 。 注意到 是 的本征态 :
此处的哈密顿量与时间无关。 因此,透过求解平稳的薛丁格方程,在经过时间t之后,状态演变为 ,带有系统总能量 。 因此经过时间t之后,状态成为:
现在假设在t时刻,对x方向上的自旋进行测量。 下式给出测量到自旋向上的机率:
是特征角频率,假设 的情形,给定 。 [4] 在这种情况下,当系统最初自旋是在 方向,那么x方向发现自旋向上的机率会随著时间 而振荡。 同样,如果我们测量 方向,那么所测量到的系统自旋为 之机率为 。在 简并情形下 ,特征频率为0,无振荡发生。
留意到,如果系统处于给定哈密顿量的本征态,则系统将维持在该状态,保持不变。
这同样也适用于时间相依的哈密顿函数。 以 为例;如果系统的初始自旋状态为 ,那么在 时刻,自旋在y方向测量结果为 之机率为 。[5]
电离氢分子两态间的拉比振荡。 |
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电离氢分子是由两个质子 、 和一个电子所组成。由于质子质量较大,因此这两个质子可以被视为固定不动的。设R为质子之间的距离,而 和 两个态的电子所处之位置,约坐落在 或 附近。假设在某一时刻,电子位于质子 附近。根据前一节的结果,我们知道它将在两个质子之间振荡,而振荡频率等于与两个分子定态 和 有关的玻尔频率。这种在两个态之间的电子振荡,对应于分子电偶极矩平均值的振荡。因此,当分子不处于定态时,就能够产生一个振荡的电偶极矩。这种振荡偶极矩可以与同频率的电磁波交换能量。因此,这个频率必须出现在电离氢分子的吸收光谱和发射光谱中。 |
以包立矩阵推导非微扰过程之拉比公式
考虑以下形式的哈密顿量
该矩阵的特征值为
, 。
此处 , 。因此我们可以取 。
现在,由方程式 : ,我们可以得到 的特征向量。
因此, 。
对特征向量采用归一化条件 。
因此 。
令 , 。所以 。
我们得到 ,即 。取任意相角 ,我们可以写下 . 同理可证, 。
所以特征值 之特征向量为 。
由于总相角较无关紧要,我们可以写下 。
类似地, 特征能量 之特征向量为 。
从这两个方程,我们可以写出
。
假设系统开始时在时刻 的状态是 ,也就是说, 。经过时间t之后,状态演变为
。
如果系统处于 或 之中的某一个本征态,那么它将会维持在同一个本征态。然而,对于如上所示的一般初始状态而言,时间演化并不显然。
系统在时刻t处于状态 的机率幅为 。
系统当前处于 ,而之后处于任意态 的机率为
这可以简化为
.........(1)
这表明, 当系统最初处于状态 时,该系统最终处于状态 的机率是有限的。机率是以角频率 振荡,而 是系统唯一的玻尔频率,又称为拉比频率。而式子(1)亦可称为拉比公式。在时间t之后,系统处于状态 的机率为 ,同样也是振荡形式。
量子计算中的拉比振荡
任何双态量子系统都可以用来模拟量子位元。现在考虑一个自旋 系统,将磁矩 置于经典磁场 之中。令系统旋磁比 ,因此磁矩 ,可以给出该系统的哈密顿量 ,此处 , 。
透过上述步骤,我们可以求得哈密顿量的特征值和特征向量。现在,让量子位元在 时刻处于量子态 ,那么,在 时刻,量子位元处于量子态 的机率为 ,这种现象就称作拉比振荡。因此,量子位元会在量子态 和 之间振荡。振荡的振幅会在 达到最大,而这即为共振条件。共振时的跃迁机率为 ,要从一个量子态 跃迁到另一个量子态 ,只需调整旋转场作用的时间 满足 或是 就充分了,这叫做“ 脉冲”。如果选择的时间介于0和 之间,我们会得到 和 的叠加态。尤其是当 的时候,我们会得到一个“ 脉冲”,它的作用是造成 量子态跃迁,而这个操作在量子计算中起到至关重要的作用。当对激光场中的二能阶原子进行大致满意的旋转波近似时,方程基本上是相同的。然后两个原子能阶之间的能量差 ( 是激光波的频率)及拉比频率 ,与原子的跃迁电偶极矩 与激光波电场 的乘积成正比,也就是 。总而言之,拉比振荡是用于操纵量子位元的基本过程,而这个振荡是在适当调整的时间间隔内,借由将量子位元暴露在周期性的电场或磁场中来获得[6]。
相关条目
外部链接
A Java applet that visualizes Rabi Cycles of two-state systems (laser driven).
extended version of the applet. Includes electron phonon interaction.
- ^ Encyclopedia of Laser Physics and Technology - Rabi oscillations, Rabi frequency, stimulated emission. [2020-04-28]. (原始内容存档于2020-05-08).
- ^ Griffiths, David. Introduction to Quantum Mechanics 2nd. 2005: 341.
- ^ Sourendu Gupta. The physics of 2-state systems (PDF). Tata Institute of Fundamental Research. 27 August 2013 [2020-04-28]. (原始内容存档 (PDF)于2019-07-16).
- ^ Griffiths, David (2012). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) p. 191.
- ^ Griffiths, David (2012). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) p. 196 ISBN 978-8177582307
- ^ A Short Introduction to Quantum Information and Quantum Computation by Michel Le Bellac, ISBN 978-0521860567