拉比週期

物理學中,拉比週期是在振盪外場中的二能階量子體系週期性行為。一個二能階系統具有兩個可能的狀態,如果狀態不是簡併的,當吸收一份能量以後,體系可以被激發。

這種效應在量子光學核磁共振量子計算中非常重要,它是以伊西多·伊薩克·拉比(Isidor Isaac Rabi)的名字命名的。

當一個原子(或者其它二能階體系)被一束相干照射的時候,它將週期性地吸收光子並透過受激發射重新將光子發射出來,這樣一個週期稱為拉比週期,它的倒數稱為拉比頻率英語Rabi frequency

這種機制是量子光學的基礎,其模型的建立可以依據傑恩斯-卡明斯模型布洛赫向量形式。

例如,對於頻率受外部電磁場調製到激發態的二能階原子(該原子的電子可以處於激發態或者基態),利用布洛赫方程式可以得到,原子處於激發態的機率為 ,其中拉比頻率英語Rabi frequency

更一般地,可以考慮一個沒有本徵態的二能階體系,如果這個體系初態位於其中一個能階,時間演化將導致每個能階的態密度按照某個特徵頻率振盪,其角頻率也稱為拉比頻率英語Rabi frequency

數學處理

拉比效應的數學細節請參見拉比問題英語Rabi_problem。 例如,若將電磁場頻率調至激發能,並於電磁場當中置入一個雙態原子(該原子之電子可以處於激發態或基態),那麼處於激發態原子之機率可以從Bloch方程式得出:

 

 是拉比頻率。

更一般而言,我們可以考慮一種,兩個能階都不是能量本徵態的系統 。因此,如果在其中一個能階對系統初始化,則時間演化將使每個能階的總粒子數以某個特徵頻率振盪,其角頻率[1]也稱為拉比頻率。 該雙態量子系統的狀態可以表示為二維希爾伯特空間複向量 ,這意味着每個狀態向量  是以標準的複數坐標表示。

   是坐標。[2]

如果向量歸一化,   的關聯為  。 基向量表示為  

所有與該系統相關的可觀測物理量均為2   2埃爾米特矩陣 ,這表示系統的哈密頓量也是相似矩陣。

如何在量子系統中準備振盪實驗

可以透過以下步驟建構振盪實驗:[3]

  1. 準備系統,使之處於固定狀態;例如  
  2. 哈密頓量H下讓態隨時間t自由演化
  3. 求出狀態為 的機率 P(t)

如果 是H的本徵態且P(t)=1 ,那麼就不會產生振盪。此外,如果兩個態  皆為簡併態,那麼包括 在內的所有態皆為H的本徵態。因此也不會產生振盪。

另一方面,若H無簡併本徵態,且初態不是本徵態,則振盪將會產生。 雙態系統哈密頓量的最一般形式給定如下

 

  是實數。 這個矩陣可以分解為

 

 是2   2單位矩陣, 鮑利矩陣 。 尤其是在與時間無關的情況下,這種分解能夠簡化系統分析,其中  是常數。考慮置於磁場  之中的自旋1/2粒子。該系統的相互作用能量算符為

  

 是粒子磁矩的大小,  旋磁比 鮑利矩陣之向量。此處哈密頓量之本徵態是 ,而  具有對應的本徵值  。 我們可以在系統處於狀態 下,給出找到任意狀態 之機率 。在 的時刻,讓系統處於準備狀態  。 注意到  的本徵態 :

 

此處的哈密頓量與時間無關。 因此,透過求解平穩的薛定諤方程式,在經過時間t之後,狀態演變為  ,帶有系統總能量  。 因此經過時間t之後,狀態成為:

 

現在假設在t時刻,對x方向上的自旋進行測量。 下式給出測量到自旋向上的機率:

 

 是特徵角頻率,假設 的情形,給定 [4] 在這種情況下,當系統最初自旋是在 方向,那麼x方向發現自旋向上的機率會隨著時間 而振盪。 同樣,如果我們測量 方向,那麼所測量到的系統自旋為 之機率為  。在 簡併情形下 ,特徵頻率為0,無振盪發生。

留意到,如果系統處於給定哈密頓量的本徵態,則系統將維持在該狀態,保持不變。

這同樣也適用於時間相依的哈密頓函數。 以  為例;如果系統的初始自旋狀態為  ,那麼在 時刻,自旋在y方向測量結果為 之機率為 [5]

以鮑利矩陣推導非微擾過程之拉比公式

考慮以下形式的哈密頓量

 

該矩陣的特徵值為

  

此處  。因此我們可以取  

現在,由方程式 : ,我們可以得到 的特徵向量。

因此,  

對特徵向量採用歸一化條件 

因此  

  。所以 

我們得到  ,即  。取任意相角 ,我們可以寫下  . 同理可證, 

所以特徵值 之特徵向量為 

由於總相角較無關緊要,我們可以寫下  

類似地, 特徵能量 之特徵向量為  

從這兩個方程式,我們可以寫出

 

 

假設系統開始時在時刻  的狀態是 ,也就是說, 。經過時間t之後,狀態演變為

 

如果系統處於  之中的某一個本徵態,那麼它將會維持在同一個本徵態。然而,對於如上所示的一般初始狀態而言,時間演化並不顯然。

系統在時刻t處於狀態 的機率幅為  

系統當前處於 ,而之後處於任意態  的機率為

 

這可以簡化為

 .........(1)

這表明, 當系統最初處於狀態 時,該系統最終處於狀態 的機率是有限的。機率是以角頻率  振盪,而 是系統唯一的玻爾頻率,又稱為拉比頻率英語Rabi frequency。而式子(1)亦可稱為拉比公式。在時間t之後,系統處於狀態 的機率為 ,同樣也是振盪形式。

這些二能階系統的振盪稱為拉比振盪,在許多問題之中都會發生這種振盪,如微中子振盪電離氫分子英語Hydrogen_ion量子計算氨邁射等等。

量子計算中的拉比振盪

任何雙態量子系統都可以用來模擬量子位元。現在考慮一個自旋 系統,將磁矩 置於經典磁場 之中。令系統旋磁比 ,因此磁矩 ,可以給出該系統的哈密頓量 ,此處  

透過上述步驟,我們可以求得哈密頓量的特徵值和特徵向量。現在,讓量子位元在 時刻處於量子態 ,那麼,在 時刻,量子位元處於量子態 的機率為  ,這種現象就稱作拉比振盪。因此,量子位元會在量子態  之間振盪。振盪的振幅會在 達到最大,而這即為共振條件。共振時的躍遷機率為 ,要從一個量子態 躍遷到另一個量子態 ,只需調整旋轉場作用的時間 滿足 或是 就充分了,這叫做「 脈衝」。如果選擇的時間介於0和 之間,我們會得到  的疊加態。尤其是當 的時候,我們會得到一個「 脈衝」,它的作用是造成 量子態躍遷,而這個操作在量子計算中起到至關重要的作用。當對激光場中的二能階原子進行大致滿意的旋轉波近似時,方程式基本上是相同的。然後兩個原子能階之間的能量差 ( 是激光波的頻率)及拉比頻率 ,與原子的躍遷電偶極矩 與激光波電場 的乘積成正比,也就是 。總而言之,拉比振盪是用於操縱量子位元的基本過程,而這個振盪是在適當調整的時間間隔內,藉由將量子位元暴露在週期性的電場或磁場中來獲得[6]

相關條目

外部連結

A Java applet that visualizes Rabi Cycles of two-state systems (laser driven).

extended version of the applet. Includes electron phonon interaction.

  1. ^ Encyclopedia of Laser Physics and Technology - Rabi oscillations, Rabi frequency, stimulated emission. [2020-04-28]. (原始內容存檔於2020-05-08). 
  2. ^ Griffiths, David. Introduction to Quantum Mechanics 2nd. 2005: 341. 
  3. ^ Sourendu Gupta. The physics of 2-state systems (PDF). Tata Institute of Fundamental Research. 27 August 2013 [2020-04-28]. (原始內容存檔 (PDF)於2019-07-16). 
  4. ^ Griffiths, David (2012). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) p. 191.
  5. ^ Griffiths, David (2012). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) p. 196 ISBN 978-8177582307
  6. ^ A Short Introduction to Quantum Information and Quantum Computation by Michel Le Bellac, ISBN 978-0521860567