全实域

在代数数论中，若数域 $K$ 的每个嵌入 $\sigma :K\to \mathbb {C}$ 的像都落在实数域 $\mathbb {R}$，则称 $K$ 为全实域或全实数域。

若 $K$ 可表为 $K=\mathbb {Q} (\alpha )$，设 $\alpha$ 在 $\mathbb {Q}$ 上的的极小多项式为 $P(X)$，则嵌入映射 $\sigma :K\to \mathbb {C}$ 透过 $\sigma \mapsto \sigma (\alpha )$ 一一对应于 $P(X)$ 在 $\mathbb {C}$ 里的根。$K$ 是全实域当且仅当 $P(X)$ 仅有实根。

另一种判准是：$K$ 是全实域当且仅当 $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} \simeq \mathbb {R} ^{[K:\mathbb {Q} ]}$。

全实域在代数数论中是较容易处理的数域。对于任意的阿贝尔扩张 $L/\mathbb {Q}$，我们有 $L$ 是全实域，或者存在极大的全实子域 $K/\mathbb {Q}$ 使得 $[L:K]=2$。

文献

• Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie (1992), Springer-Verlag. ISBN 3-5403-7547-3