全實域

在代數數論中，若數體 $K$ 的每個嵌入 $\sigma :K\to \mathbb {C}$ 的像都落在實數體 $\mathbb {R}$，則稱 $K$ 為全實數體。

若 $K$ 可表為 $K=\mathbb {Q} (\alpha )$，設 $\alpha$ 在 $\mathbb {Q}$ 上的的極小多項式為 $P(X)$，則嵌入映射 $\sigma :K\to \mathbb {C}$ 透過 $\sigma \mapsto \sigma (\alpha )$ 一一對應於 $P(X)$ 在 $\mathbb {C}$ 裏的根。$K$ 是全實域當且僅當 $P(X)$ 僅有實根。

另一種判準是：$K$ 是全實域當且僅當 $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} \simeq \mathbb {R} ^{[K:\mathbb {Q} ]}$。

全實域在代數數論中是較容易處理的數體。對於任意的阿貝爾擴張 $L/\mathbb {Q}$，我們有 $L$ 是全實域，或者存在極大的全實子體 $K/\mathbb {Q}$ 使得 $[L:K]=2$。

文獻

• Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie (1992), Springer-Verlag. ISBN 3-5403-7547-3