線性代數基本定理

線性代數基本定理是秩為 r 的 m×n 矩陣A的奇異值分解:

A=U\Sigma V^{T}\

對於矩陣 $A\in \mathbf {R} ^{m\times n}$ ( $A$ 有 $m$ 行及 $n$ 列)產生了四個基本線性子空間:

子空間名字	定義	包含於	維數	基
列空間、值域或像	$\mathrm {im} (A)$ 或 $\mathrm {range} (A)$	$\mathbf {R} ^{m}$	$r$	$\mathbf {U}$ 的前 $r$ 列
左零空間或上核	$\mathrm {ker} (A^{T})$ 或 $\mathrm {null} (A^{T})$	$\mathbf {R} ^{m}$	$m-r$	$\mathbf {U}$ 的後 $m-r$ 列
行空間或余象	$\mathrm {im} (A^{T})$ 或 $\mathrm {range} (A^{T})$	$\mathbf {R} ^{n}$	$r$	$\mathbf {V}$ 的前 $r$ 列
零空間或核	$\mathrm {ker} (A)$ 或 $\mathrm {null} (A)$	$\mathbf {R} ^{n}$	$n-r$	$\mathbf {V}$ 的後 $n-r$ 列

Secondly:

In $\mathbf {R} ^{n}$ , $\mathrm {ker} (A)=(\mathrm {im} (A^{T}))^{\perp }$ , 也就是, 零空間與行空間的正交補相同.
In $\mathbf {R} ^{m}$ , $\mathrm {ker} (A^{T})=(\mathrm {im} (A))^{\perp }$ , 也就是, 左零空間為列空間的正交補.

子空間的維數遵從秩-零化度定理.

進一步, 所有這些空間本質地定義於– 不必考慮基的選擇 – 抽象向量空間, 算子, 對偶空間 $A\colon V\to W$ 與 $A^{*}\colon W^{*}\to V^{*}$ : $A^{*}$ 的核與像是 $A$ 的上核與余象.

參見

Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications. 3rd ed. Orlando: Saunders, 1988.
Strang, Gilbert, The fundamental theorem of linear algebra (PDF), American Mathematical Monthly, 1993, 100 (9): 848–855, JSTOR 2324660, doi:10.2307/2324660 ^{[失效連結]}