正交补

在线性代数和泛函分析的数学领域中，内积空间 V 的子空间 W 的正交补（英語：orthogonal complement） $W^{\bot }$ 是正交于 W 中所有向量的所有 V 中向量的集合，也就是

$W^{\bot }=\left\{\,x\in V:\forall y\in W,\langle x,y\rangle =0\,\right\}.\,$

正交补总是闭合在度量拓扑下。在希尔伯特空间中，W 的正交补的正交补是 W 的闭包，就是说

$W^{\bot \,\bot }={\overline {W}}.\,$

如果 A 是 $m\times n$ 矩阵，而 ${\mbox{Row }}A$, ${\mbox{Col }}A$ 和 ${\mbox{Nul }}A$ 分别指称列空间、行空间和零空间，则有

$(\mathrm {Row} \,A)^{\bot }=\mathrm {Nul} \,A$

和

$(\mathrm {Col} \,A)^{\bot }=\mathrm {Nul} \,A^{T}$

巴拿赫空间

在一般的巴拿赫空间中有自然的类似物。在这种情况下类似的定义 W 的正交补为 V 的对偶的子空间

$W^{\bot }=\left\{\,x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\,\right\}.\,$

它总是 $V^{*}$ 的闭合子空间。它也有类似的双重补性质。$W^{\bot \,\bot }$ 现在是 ${V^{*}}^{*}$ 的子空间(它同一于 $V$)。但是自反空间有在 $V$ 和 ${{V^{*}}^{*}}$ 之间的自然同构 $i$。在这种情况下我们有

$i{\overline {W}}=W^{\bot \,\bot }.$

这是哈恩-巴拿赫定理的直接推论。