虛數單位

負數的平方根,用來定義複數

數學物理工程學裏,虛數單位是指二次方程的解。雖然沒有這樣的實數可以滿足這個二次方程,但可以通過虛數單位將實數系統延伸至複數系統。延伸的主要動機為有很多實系數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數,那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位標記為,在電機工程和相關領域中則標記為,這是為了避免與電流(記為)混淆。

虛數單位複平面的位置。橫軸是實數,豎軸是虛數
高斯整數導航
2i
−1+i i 1+i
−2 −1 0 1 2
−1−i i 1−i
−2i
各式各樣的
基本

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無限大

定義

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

虛數單位 定義為二次方程式 的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為:

 

由於實數的平方絕不可能是負數,我們假設有這麼一個數目解答,給它設定一個符號 。很重要的一點是, 是一個良定義的數學構造。

另外,虛數單位同樣可以表示為:

 

然而 往往被誤認為是錯的,他們的證明的方法是:

因為 ,但是-1不等於1。
但請注意: 成立的條件有 , 不能為負數

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時,我們只需要假設 是一個未知數,然後依照 的定義,替代任何 的出現為-1。 的更高整數冪數也可以替代為  ,或 ,根據下述方程式:

 
 
 

一般地,有以下的公式:

 
 
 
 
 

其中 表示被4除的餘數

i-i

方程 有兩個不同的解,它們都是有效的,且互為共軛虛數倒數。更加確切地,一旦固定了方程的一個解 ,那麼 (不等於 )也是一個解,由於這個方程是 的唯一的定義,因此這個定義表面上有歧義。然而,只要把其中一個解選定,並固定為 ,那麼實際上是沒有歧義的。這是因為,雖然  在數量上不是相等的(它們是一對共軛虛數),但是  之間沒有質量上的區別(-1和+1就不是這樣的)。在任何的等式中同時將所有i替換為-i,該等式仍成立。

 
 

正當的使用

虛數單位有時記為 。但是,使用這種記法時需要非常謹慎,這是因為有些在實數範圍內成立的公式在複數範圍內並不成立。例如,公式 僅對於非負的實數  才成立。

假若這個關係在虛數仍成立,則會出現以下情況:

 (不正確)
 (不正確)
 (不正確)

i的運算

 
虛數單位 的平方根在複平面的位置

許多實數的運算都可以推廣到 ,例如平方根對數三角函數。以下運算除第一項外,均為與 有關的多值函數,在實際應用時必須指明函數的定義選擇在黎曼面的哪一支。下面列出的僅僅是最常採用的黎曼面分支的計算結果。

 
這是因為:
 
使用主平方根符號表示:
 
其解法為先假設兩實數  ,使得 ,求解 [1]
  • 一個數的 次冪為:
 
一個數的 次方根為:
 
利用歐拉公式
  
代入不同的 值,可計算出無限多的解。當 最小的解是 0.20787957635076...[2]
  •  為底的對數為:
 
 1.5430806348152...
 1.1752011936438... 

在程式語言

註解

  1. ^ University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i?頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) URL retrieved March 26, 2007.
  2. ^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.
  3. ^ Rob Pike. Constants. The Go Blog. 2014-08-25 [2022-05-27]. (原始內容存檔於2022-06-28). 

參見

參考文獻

  • Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部連結