单位根

出自复变函数的一个定义

数学上,次單位根1複數。它們位於复平面单位圆上,構成正多边形頂點,但最多只可有兩個頂點同時標在實數線上。

复平面上的三次单位根

定义

 

这方程的複數根   次單位根

單位的  次根有  個:

 

本原根

單位的  次根以乘法構成 循環群。它的生成元是  本原單位根。 次本原單位根是 ,其中  互質 次本原單位根數目為歐拉函數 。 全体i次单位根对普通乘法作成群,即i次单位根群。所有全体i次单位根群在普通乘法下也可作成群,且这是一个无限交换群,这个无限交换群里的每个元素的阶都有限。

例子

一次單位根有一個:  

二次單位根有兩個:   ,只有 是本原根。

三次单位根

 

其中 虚數單位;除 外都是本原根。

四次單位根是

 

其中  是本原根。

和式

 不小於 时, 次單位根總和為 。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數

 

第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點,而從對稱性知這多邊形重心原點

還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理,由分圓方程的 項係數為零得出。