多值函数

多值函数（英語：multivalued function, multifunction）為一數學名詞，是一種二元关系。其中，定义域 $X$ 中的每一个元素都对应陪域 $Y$ 中的至少一个元素。

此名词来源于复分析，例如复对数函数便是其中一例。函数原本的定义中不允许 $X$ 的元素对应多于一个 $Y$ 中的元素；但复分析中，为了作区分，将原来定义的函数称为单值函数。

有些多值函数拥有主分支，而使得多值函数可以转化为单值函数。此时该单值函数的值称为主值（principal value）。

例子

每個大於0的實數都有二個實數的平方根，例如4的平方根是{−2, +2}.，0的平方根是0。
一般而言，許多不為0的複數都有二個平方根、三個立方根、n個n次方根，只有0的n次方根為0。
複對數函數是多值函數。 $\log(a+bi)$ （ $a$ 和 $b$ 為實數）的值是 $\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni$ ，其中 $n$ 為任意整數。 .
反三角函數為週期性的多值函数，例如

\tan \left({\textstyle {\frac {\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {5\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {-3\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {(2n+1)\pi }{4}}}\right)=\cdots =1.

因此，arctan(1)在本質上會對應許多數值：

π

/4, 5

π

/4, −3

π

/4等。若限制其tan x的定義域在−

π

/2 < x <

π

/2，此區域下tan x為單純遞增，則arctan(x)的值域會在−

π

/2 < y <

π

/2。這種限定區域下的值稱為主值（英语：Principal value）。

不定積分也可以視為是多值函数，函數f的不定積分是一個函數的集合，集合中的每一個函數微分後都是f，因此不定積分存在一積分常數，因為積分常數不論本身數值多少，微分後都是0。

所有的多值函数都是來自非單射的函數，因為原始函數無法完全保存其輸入的資訊，因此函數也就不可逆。

複變函數的多值函數會有分支點（英语：branch point），例如n次方根以及對數函數中，0是分支點，而arctan函數中，虛數單位i和−i為分支點。利用分支點可以限定範圍的方式，將這些函數重新定義為單值函數。若是在實函數的例子中，這個限制的區域一般會稱為函數的主分支。

參考資料

C. D. Aliprantis and K. C. Border, Infinite dimensional analysis. Hitchhiker's guide, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006
J. Andres and L. Górniewicz, Topological Fixed Point Principles for Boundary Value Problems, Kluwer Academic Publishers, 2003
J.-P. Aubin and A. Cellina, Differential Inclusions, Set-Valued Maps And Viability Theory, Grundl. der Math. Wiss. 264, Springer - Verlag, Berlin, 1984
J.-P. Aubin and H. Frankowska, Set-Valued Analysis, Birkhäuser, Basel, 1990
K. Deimling, Multivalued Differential Equations, Walter de Gruyter, 1992
A. Geletu, Introduction to Topological Spaces and Set-Valued Maps (Lecture notes), Ilmenau University of Technology, 2006
H. Kleinert, Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation, World Scientific (Singapore, 2008) (also available online（页面存档备份，存于互联网档案馆）)
H. Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter, Vol. I: Superflow and Vortex Lines, 1–742, Vol. II: Stresses and Defects, 743–1456, World Scientific, Singapore, 1989 (also available online: Vol. I（页面存档备份，存于互联网档案馆） and Vol. II（页面存档备份，存于互联网档案馆）)
D. Repovš and P.V. Semenov, Continuous Selections of Multivalued Mappings（页面存档备份，存于互联网档案馆）, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1998
E. U. Tarafdar and M. S. R. Chowdhury, Topological methods for set-valued nonlinear analysis（页面存档备份，存于互联网档案馆）, World Scientific, Singapore, 2008
F.-C. Mitroi, K. Nikodem, S. Wąsowicz, Hermite-Hadamard inequalities for convex set-valued functions, Demonstratio Mathematica, Vol. 46, Issue 4(2013), pp.655-662.

多值函数

例子

相關條目

參考資料