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等面圖形

在幾何學中，等面或稱面可遞是指所有面都全等的幾何圖形。若稱面可遞時，除了所有面都要全等外，其對稱性要是可以在面上傳遞的，即所有的面必須位於相同的對稱軌道內。 換句話說，對於同個幾何體上任何兩個面A和B，透過平移、旋轉或鏡射這個幾何體將A變換到B時，其仍占有相同的空間區域。因此，公正的骰子皆適合製作成凸等面多面體的形狀。[1]

等面的骰子

具備等面特性的多面體通常稱為等面多面體。它們可以透過其面的布局（英語：face configuration）來描述。若一等面多面體同時具有邊可遞（等邊）的特性，則這個多面體是擬正多面體的對偶多面體。一些理論數學家認為這類幾何體是真正的擬正立體，因為它們具有相同的對稱性，但這並不被普遍接受。此外，所有等面多面體都具有偶數的面數。[2]

等面多面體的對偶多面體會具有點可遞（等角）的特性[3]。卡塔蘭立體、正雙錐體和正偏方面體等均勻多面體對偶都是等面圖形[4]，其分別為等角阿基米德體、柱體和反柱體的對偶多體。自身對偶的柏拉圖立體或對偶多面體是另一個柏拉圖立體的柏拉圖立體是頂點、面和邊皆可遞（等角、等邊和等面）的多面體。同時具備等面和等角的多面體稱為稀有多面體[5]。

並非所有等環多面體（isozonohedra）[6]都具有面可遞特性。[7]例如菱形二十面體是等環多面體但不具有面可遞特性。[8]

例子

凸 非凸
 
雙六角錐，面的布局（英語：face configuration）為V4.4.6，是非正多面體具有等面特性的例子 		 
等面開羅五邊形鑲嵌，面的布局（英語：face configuration）為V3.3.4.3.4 		 
菱形十二面體堆砌是一個等面且等胞的空間填充幾何體例子。 		 
拓撲方形鑲嵌扭曲成螺旋H形狀。

按對稱分類的等面圖形類別

面數 面的
布局
（英語：Face configuration）		 類別 名稱 對稱性 階數 凸 共面 非凸
4 V33 柏拉圖立體 正四面體
四角鍥形體（英語：Tetragonal disphenoid）
菱形鍥形體（英語：Rhombic disphenoid） 		Td, [3,3], (*332)
D2d, [2+,2], (2*)
D2, [2,2]+, (222) 		24
4
4
4 		   
6 V34 柏拉圖立體 立方體
三方偏方面體
不對稱三方偏方面體 		Oh, [4,3], (*432)
D3d, [2+,6]
(2*3)
D3
[2,3]+, (223) 		48
12
12
6 		   
8 V43 柏拉圖立體 正八面體
雙四角錐
雙菱形錐
四角偏三角面體 		Oh, [4,3], (*432)
D4h,[2,4],(*224)
D2h,[2,2],(*222)
D2d,[2+,4],(2*2) 		48
16
8
8 		        
12 V35 柏拉圖立體 正十二面體
五角十二面體
五角三四面體 		Ih, [5,3], (*532)
Th, [3+,4], (3*2)
T, [3,3]+, (*332) 		120
24
12 		         
20 V53 柏拉圖立體 正二十面體 Ih, [5,3], (*532) 120  
12 V3.62 卡塔蘭立體 三角化四面體 Td, [3,3], (*332) 24       
12 V(3.4)2 卡塔蘭立體 菱形十二面體
鳶形十二面體 		Oh, [4,3], (*432)
Td, [3,3], (*332) 		48
24 		        
24 V3.82 卡塔蘭立體 三角化八面體 Oh, [4,3], (*432) 48     
24 V4.62 卡塔蘭立體 四角化立方體 Oh, [4,3], (*432) 48         
24 V3.43 卡塔蘭立體 鳶形二十四面體 Oh, [4,3], (*432) 48         
48 V4.6.8 卡塔蘭立體 四角化菱形十二面體 Oh, [4,3], (*432) 48         
24 V34.4 卡塔蘭立體 五角二十四面體 O, [4,3]+, (432) 24  
30 V(3.5)2 卡塔蘭立體 菱形三十面體 Ih, [5,3], (*532) 120  
60 V3.102 卡塔蘭立體 三角化二十面體 Ih, [5,3], (*532) 120       
60 V5.62 卡塔蘭立體 五角化十二面體 Ih, [5,3], (*532) 120        
60 V3.4.5.4 卡塔蘭立體 鳶形六十面體 Ih, [5,3], (*532) 120      
120 V4.6.10 卡塔蘭立體 四角化菱形三十面體 Ih, [5,3], (*532) 120          
60 V34.5 卡塔蘭立體 五角六十面體 I, [5,3]+, (532) 60  
2n V33.n 極性 偏方面體
不對稱偏方面體 		Dnd, [2+,2n], (2*n)
Dn, [2,n]+, (22n) 		4n
2n 		    
  
2n
4n 		V42.n
V42.2n
V42.2n 		極性 正雙n角錐
等邊雙2n角錐
2n角偏三角面體 		Dnh, [2,n], (*22n)
Dnh, [2,n], (*22n)
Dnd, [2+,2n], (2*n) 		4n             

k-等面圖形

若一多面體（或更廣義的多胞形）在其對稱性基本域內包含k個面，則稱這個幾何結構為k-等面圖形。[9]

類似地，k-等面鑲嵌圖具有k個單獨的對稱軌道（對於某些m < k的情況，可能包含m個不同形狀的面）。[10]:35

單一面多面體或單一面鑲嵌圖（m = 1）所有的面都全等。這些面不管是原本的面還是鏡射後的面，會出現在一個或多個對稱位置上。[11]:20,23

以下是一些k-等面多面體和k-等面鑲嵌圖的示例，其面的顏色是根據其k個對稱位置上色：

3-等面 4-等面 等面 2-等面
兩種正多邊形面的多面體 單一面多面體
       
小斜方截半立方體具有一種三角形面和兩種不同對稱位置的正方形面 異相雙四角台塔柱具有一種三角形面和三種不同對稱位置的正方形面 鳶形二十四面體僅有一種類型的面 偽鳶形二十四面體（羅馬尼亞語：Icositetraedru pseudoromboidal）具有兩種不同對稱位置的但相同形狀的面
2-等面 4-等面 等面 3-等面
兩種正多邊形面的鑲嵌圖 單一面鑲嵌圖（英語：Monohedral tiling）
     
 
畢氏鑲嵌（英語：Pythagorean tiling）具有兩種不同尺寸的正方形 3-均勻鑲嵌（英語：k-uniform tiling）具有3種不同對稱位置的但相同形狀的三角形面和一種正方形面 鯡魚骨圖案（英語：Herringbone pattern）具有一種矩形面 五邊形鑲嵌具有3種不同對稱位置的但相同形狀的五邊形面

相關概念

等胞圖形

等胞或稱胞可遞是指所有胞都全等的幾何結構。若稱胞可遞時，除了所有胞都要全等外，其對稱性要是可以在胞上傳遞的，即所有的胞必須位於相同的對稱軌道內。 換句話說，對於同個幾何體上任何兩個胞A和B，透過平移、旋轉或鏡射這個幾何體將A變換到B時，其仍占有相同的空間區域。

等胞圖形僅出現在三維堆砌體和四維以及四維以上的幾何體，用來表示這個幾何體的三維元素全部都全等。在三維空間中，反射堆砌體（英語：Architectonic and catoptric tessellation）和均勻堆砌體的對偶都是等胞圖形。四維空間中已知有多達20個胞的等胞圖形。[12]

 
菱形十二面體堆砌是一個等胞的堆砌體，其由全等的菱形十二面體堆砌而成。 		 
三角三角柱體柱（英語：3-3_duoprism）是一個等胞的四維多胞體，其由6個全等的三角柱構成。

等維面圖形

等維面或稱維面可遞是指所有維面（n維幾何體中的n-1維元素）都全等的幾何圖形。若稱維面可遞時，除了所有維面都要全等外，其對稱性要是可以在維面上傳遞的。等維面圖形的對偶都是等角圖形。根據定義，均勻多胞形的對偶會具有此特性。

  • 等維面的二維圖形是等邊的（邊可遞）
  • 等維面的三維圖形是等面的（面可遞）
  • 等維面的四維圖形是等胞的（胞可遞）

參考文獻

  1. ^ McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822, doi:10.2307/3619822 .
  2. ^ Grünbaum, B. On Polyhedra in   Having All Faces Congruent. Bull. Research Council Israel. 1960, 8F: 215–218. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. (編). Dual Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. (編). Isohedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. 
  5. ^ Klitzing, Richard. Noble Polytopes. bendwavy.org. [2021-10-12]. （原始內容存檔於2021-08-09）. 
  6. ^ Weisstein, Eric W. (編). Isozonohedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-12-26]. （原始內容存檔於2022-02-12） （英語）. 
  7. ^ Weisstein, Eric W. (編). Isohedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-12-21]. （原始內容存檔於2022-11-05） （英語）. 
  8. ^ Weisstein, Eric W. (編). Rhombic Icosahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-12-21]. （原始內容存檔於2022-02-12） （英語）. 
  9. ^ Socolar, Joshua E. S. Hexagonal Parquet Tilings: k-Isohedral Monotiles with Arbitrarily Large k (corrected PDF). The Mathematical Intelligencer. 2007, 29: 33–38 [2007-09-09]. S2CID 119365079. arXiv:0708.2663  . doi:10.1007/bf02986203. （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-03）. 
  10. ^ Kaplan, C.S. Introductory Tiling Theory for Computer Graphics. Synthesis lectures in computer graphics and animation. Morgan & Claypool Publishers. 2009 [2022-07-12]. ISBN 9781608450176. （原始內容存檔於2022-07-14）. 
  11. ^ Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. Tilings and Patterns . W. H. Freeman. 1987. ISBN 978-0-7167-1193-3. 
  12. ^ Four Dimensional Dice Up To Twenty Sides. polytope.net. （原始內容存檔於2022-02-08）. 
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