微積分中,次切距(subtangent)是切線與切點垂線在橫坐標軸上的距離。

萊布尼茲的六個函數(幾何線段)與次切距(subtangent)。
巴斯卡的極小三角形方法。
萊布尼茲的的極小三角形方法。

歷史

反切線問題

分別於1636年與1637年,法國數學家費馬笛卡兒提出了座標幾何,這鼓舞了當時的數學家投入於研究代數曲線。 然而,有些曲線無法以代數式表示,它們被稱為超越曲線。1638 年,另一位法國數學家佛洛里博得·德博納(Florimond de Beaune)寫了一封信問笛卡兒一個數學問題,這個問題是數學歷史上的第一個反切線問題(inverse tangent problem),亦即,從切線來求曲線:

   之間有一個等比關係,亦即    為任意數),求該曲線。

其中,  為切點垂線長,  為次切距(見附圖)。 笛卡兒給了詳盡的回覆,包括曲線繪製方法與計算座標的數值方法。但是,他無法找到這條曲線的代數式,他了解到,這是一條超越曲線。

大約於1672年到1676年,萊布尼茲到巴黎旅居,一位建築師克洛德·佩羅(Claude Perrault)向他提出一個類似的問題:

令切線長度保持不變,求該曲線。

切線長即  (tangent)。這被稱為曳物線問題(tractrix)。這也是一個反切線問題。萊布尼茲一直到 1693 年才發表了他的解答。

連續曲線的函數(幾何線段)與極小三角形

萊布尼茲將一個連續曲線以六個幾何線段來表示,他稱呼這六個線段為函數(function),這些函數決定了這個曲線。這是"函數"這個術語的來源。

然後,他使用了巴斯卡的極小三角形(infinitesimal triangle)技巧,給出了微分方程式:

 

因此,德博納反切線問題的微分方程式為:

 

解出這個微分方程式就可以得到曲線方程式。

參考