微积分中,次切距(subtangent)是切线与切点垂线在横坐标轴上的距离。

莱布尼兹的六个函数(几何线段)与次切距(subtangent)。
巴斯卡的极小三角形方法。
莱布尼兹的的极小三角形方法。

历史

反切线问题

分别于1636年与1637年,法国数学家费马笛卡儿提出了座标几何,这鼓舞了当时的数学家投入于研究代数曲线。 然而,有些曲线无法以代数式表示,它们被称为超越曲线。1638 年,另一位法国数学家佛洛里博得·德博纳(Florimond de Beaune)写了一封信问笛卡儿一个数学问题,这个问题是数学历史上的第一个反切线问题(inverse tangent problem),亦即,从切线来求曲线:

   之间有一个等比关系,亦即    为任意数),求该曲线。

其中,  为切点垂线长,  为次切距(见附图)。 笛卡儿给了详尽的回复,包括曲线绘制方法与计算座标的数值方法。但是,他无法找到这条曲线的代数式,他了解到,这是一条超越曲线。

大约于1672年到1676年,莱布尼兹到巴黎旅居,一位建筑师克洛德·佩罗(Claude Perrault)向他提出一个类似的问题:

令切线长度保持不变,求该曲线。

切线长即  (tangent)。这被称为曳物线问题(tractrix)。这也是一个反切线问题。莱布尼兹一直到 1693 年才发表了他的解答。

连续曲线的函数(几何线段)与极小三角形

莱布尼兹将一个连续曲线以六个几何线段来表示,他称呼这六个线段为函数(function),这些函数决定了这个曲线。这是"函数"这个术语的来源。

然后,他使用了巴斯卡的极小三角形(infinitesimal triangle)技巧,给出了微分方程式:

 

因此,德博纳反切线问题的微分方程式为:

 

解出这个微分方程式就可以得到曲线方程式。

参考