次切距

在微积分中，次切距（subtangent）是切线与切点垂线在横坐标轴上的距离。

莱布尼兹的六个函数（几何线段）与次切距（subtangent）。

巴斯卡的极小三角形方法。

莱布尼兹的的极小三角形方法。

历史

反切线问题

分别于1636年与1637年，法国数学家费马与笛卡儿提出了座标几何，这鼓舞了当时的数学家投入于研究代数曲线。 然而，有些曲线无法以代数式表示，它们被称为超越曲线。1638 年，另一位法国数学家佛洛里博得·德博纳（Florimond de Beaune）写了一封信问笛卡儿一个数学问题，这个问题是数学历史上的第一个反切线问题（inverse tangent problem），亦即，从切线来求曲线：

令 ${\frac {\overline {OP}}{\overline {OT}}}$ 与 $(y-x)$ 之间有一个等比关系，亦即 ${\frac {\overline {OP}}{\overline {OT}}}={\frac {\alpha }{(y-x)}}$（$\alpha$ 为任意数），求该曲线。

其中，${\overline {OP}}$ 为切点垂线长，${\overline {OT}}$ 为次切距（见附图）。 笛卡儿给了详尽的回复，包括曲线绘制方法与计算座标的数值方法。但是，他无法找到这条曲线的代数式，他了解到，这是一条超越曲线。

大约于1672年到1676年，莱布尼兹到巴黎旅居，一位建筑师克洛德·佩罗（Claude Perrault）向他提出一个类似的问题：

令切线长度保持不变，求该曲线。

切线长即 ${\overline {PT}}$（tangent）。这被称为曳物线问题（tractrix）。这也是一个反切线问题。莱布尼兹一直到 1693 年才发表了他的解答。

连续曲线的函数（几何线段）与极小三角形

莱布尼兹将一个连续曲线以六个几何线段来表示，他称呼这六个线段为函数（function），这些函数决定了这个曲线。这是＂函数＂这个术语的来源。

然后，他使用了巴斯卡的极小三角形（infinitesimal triangle）技巧，给出了微分方程式：

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\overline {OP}}{\overline {OT}}}$

因此，德博纳反切线问题的微分方程式为：

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\alpha }{(y-x)}}$

解出这个微分方程式就可以得到曲线方程式。

参考

• Leibniz's Original Notion of Functions and Its Meaning （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 1911 Encyclopædia Britannica/Infinitesimal Calculus/History （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The History of Mathematics: A Brief Course, Roger L. Cooke