三面形(英語:Trigonal hosohedron、Triangular hosohedron或3-hosohedron[1])是以三角形基底多面形,表示三個鑲嵌在球面上的球弓形英语Spherical lune,為球面三面體的一種[2],由3個、3條和2個頂點組成,在施萊夫利符號中利用{2,3}來表示[3],其對偶多面體三角形二面體

三面形
三面形
類別多面形均勻多面體、球面鑲嵌
對偶多面體三角形二面體在维基数据编辑
數學表示法
考克斯特符號
英语Coxeter-Dynkin diagram
node 3 node 2 node_1 
施萊夫利符號{2,3}在维基数据编辑
威佐夫符號
英语Wythoff symbol
3 | 2 2
性質
3
3
頂點2
歐拉特徵數F=3, E=3, V=2 (χ=2)
組成與佈局
面的種類二角形
頂點佈局
英语Vertex_configuration
23
對稱性
對稱群D3h, [2,3], (*223), 12階
旋轉對稱群
英語Rotation_groups
D3, [2,3]+, (223), order 12

性質

三面形是一個退化多面體,其無法擁有體積。三面形由3個二角形組成,每個頂點都是3個二角形的公共頂點。正三面形的每個面都是正二角形,且每個頂點都是3個正二角形的公共頂點,因此正三面形也可以視為一種正多面體,但是因為其已退化,因此不會與柏拉圖立體一同討論,但可以視為一種正則地區圖[3]

三面形具有 D3h, [2,3], (*223) 的對稱性和 D3, [2,3]+ 的旋轉對稱性,且階數為12,在考克斯特符號中用     表示。

三面形可以經由一角形二面體透過截角變換而得[註 1][3]

三面形可以截角為三角柱,也可以交錯截角為正四面體[4]

皮特里三面形

三面形的皮特里多邊形是一種具有6條邊和6個頂點的退化扭歪多邊形[3],其邊兩兩共用,六個頂點每三個互相共用。三面形的皮特里對偶由一個前述的六邊形組成,並且該六邊形在每個頂點的周圍,以正則地區圖的模式自我相鄰3次[5],因此在施萊夫利符號中可以用{6,3}(1,1)來表示[3]

三面形的皮特里對偶共由1個面、3條邊和2個頂點組成,可以視為一面體的一種,是一個可定向曲面[5],作為正則地區圖可以具象化為一種環形多面體,在施萊夫利符號中表示為{6,3}1,0[7]

環形多面體的展開圖
 
{6,3}1,0
由1個面、3條稜和2個頂點組成
(v:2, e:3, f:1)

對偶多面體

 
球面上的三角形二面體,三面形的對偶多面體

三面形的對偶多面體三角形二面體(Triangular dihedron或Trigonal dihedron),又稱為雙三角形(di-triangle[8]),是一種多邊形二面體,由2個三角形面、三條邊和三個頂點組成。期兩個三角形已背對背的方式互相連接,與截半三面形類似,但沒有像截半三面形那樣在邊與邊的連接處存在兩角形(三角形二面體截半的結果也是截半三面形)。[8]

正三角形二面體是指由兩個正三角形背對背貼合所形成的幾何體,由於其組成面皆為正多邊形,且所有邊等長、所有角等角,因此可以視為一種退化的正多面體,其在施萊夫利符號中以{3,2}表示,代表由2個施萊夫利符號表示為{3}的正三角形組成。[9]

做為一個球面鑲嵌,球面的正三角形二面體由2個球形三角形組成,其在球面的大圓上共用3個相同的頂點;球面正三角形二面體的每個正三角形面都恰好填滿了一個半球。這兩個球面正三角形在球面的大圓赤道上等距地分布。

三角形二面體的皮特里對偶為六邊形二面體半形[8][10],即六邊形二面體的多面體半形,這意味著三角形二面體的皮特里多邊形為六邊形[8],該六邊形的頂點兩兩共用,或可以是圍繞三角形兩圈構成的六邊形[10]

截半三面形

 
截半三面形

截半三面形是指三面形經過截半變換後的結果,即三面形節去所有頂點至邊的中點。所形成的立體由2個三角形截面和3個二角形原始面組成。2個三角形面以類似多邊形二面體的方式貼合,而3個二角形則位於貼合邊上,圍繞三角形面一圈,類似於一串香腸串的樣式[11],因此又稱為三角香腸面形(3-lucanicohedron)[12]

截半三面形共由5個面、6條邊和3個頂點組成,在其5個面中有2個三角形面和3個二角形面,其3個頂點皆為2個二角形和2個三角形的公共頂點。由於截半三面形由兩種面組成(二角形和三角形),因此其不算是正則地區圖,僅能算做擬正則地區圖。截半三面形也是三角形二面體經過截半變換後的結果。[12]

截角三角形二面體

截角三角形二面體是一個與截半三面形類似的幾何體,其同樣有3個二角形面,但兩個三角形面變為兩個六邊形面,六邊形面同樣背對背貼合,3個二角形面交錯地分布在六邊形的邊上的貼和處,無二角形面的六邊形-六邊形貼和處則是直接貼合,因此其頂點圖變為兩個六邊形和一個二角形的公共頂點。

 
截角三角形二面體
 
截半三面形

相關多面體

三面形是三角形二面體對偶多面體[3],因此與三角形二面體具有相同的對稱性,其可以衍生出一些相關的多面體:

半正三角形二面體球面多面體
對稱群英语List of spherical symmetry groups[3,2], (*322) [3,2]+, (322)
                                               
             
{3,2}
章節
t{3,2}
章節
r{3,2}
章節
2t{3,2}=t{2,3} 2r{3,2}={2,3} rr{3,2} tr{3,2} sr{3,2}
半正對偶
                                               
               
V32 V62 V32 V4.4.3 V23 V4.4.3 V4.4.6 V3.3.3.3
正多面形系列
球面鑲嵌 歐式鑲嵌
仿緊空間
雙曲鑲嵌
非緊空間
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... iπ
一面形 二面形 三面形 四面形 五面形 六面形 七面形 八面形 九面形 十面形 十一面形 十二面形 無限面形 超無限面形
   
{2,1}
     
{2,2}
     
{2,3}
     
{2,4}
     
{2,5}
     
{2,6}
     
{2,7}
     
{2,8}
     
{2,9}
      
{2,10}
      
{2,11}
      
{2,12}
     
{2,∞}
     
{2,iπ/λ}
                           

參見

註釋

  1. ^ 一角形二面體由2個一角形、1條邊和1個頂點組成,頂點圖二角形,因此截角變換後會生成二角形面,並在與單一頂點相鄰的單一邊之兩側各形成一個頂點,將原有的2個一角形截角二角形,再加上截角產生的新二角形,其截角變換的像將會有3條邊、3個二角形和2個頂點,此結構即為三面形。

參考文獻

  1. ^ E. Alesci, M. Assanioussi, J. Lewandowski. Curvature operator for loop quantum gravity. Physical Review D. 2014-06-12, 89 (12) [2022-12-16]. ISSN 1550-7998. doi:10.1103/PhysRevD.89.124017. (原始内容存档于2022-12-16) (英语). 
  2. ^ Teng-Teng Chen, Wan-Lu Li, Wei-Jia Chen, Xiao-Hu Yu, Xin-Ran Dong, Jun Li, Lai-Sheng Wang. Spherical trihedral metallo-borospherenes. Nature Communications. 2020-06-02, 11 (1) [2022-12-16]. ISSN 2041-1723. PMC 7265489 . PMID 32488008. doi:10.1038/s41467-020-16532-x. (原始内容存档于2022-12-16) (英语). 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 The 3-hosohedron. weddslist.com. [2022-12-15]. (原始内容存档于2022-12-15). 
  4. ^ Notes on operations on polyhedra. antitile.readthedocs.io. [2022-12-16]. (原始内容存档于2022-12-16). 
  5. ^ 5.0 5.1 {3,6}(1,1). weddslist.com. [2022-12-15]. 
  6. ^ Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J., Generators and Relations for Discrete Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 14 4th, Springer Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-09212-6 
  7. ^ Coxeter 1980[6], 8.4 Maps of type {3,6} or {6,3} on a torus.
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 The di-triangle. weddslist.com. [2023-01-09]. (原始内容存档于2022-12-29). 
  9. ^ Coxeter, H. S. M., Regular Polytopes 3rd, Dover Publications Inc.: 12, January 1973, ISBN 0-486-61480-8 
  10. ^ 10.0 10.1 The hemi-di-hexagon. weddslist.com. [2023-01-09]. (原始内容存档于2016-03-14). 
  11. ^ glossary§lucanicohedron. weddslist.com. [2022-12-29]. (原始内容存档于2021-05-07). 
  12. ^ 12.0 12.1 The 3-lucanicohedron. weddslist.com. [2022-12-29]. (原始内容存档于2022-12-29).