模板:複變運算

e ^ ( i * pi ) = -1
( i * j * k ) = -1 （四元數）

(※)注意請勿使用{{#expr:數學式}}替代！會導致有使用複數運算的條目全數NaN

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本模板為Help:計算功能的一個擴展，提供了一些Help:計算不支援的計算。

概要

本模板比Help:計算多了以下功能：

複變數四則運算（能支援到簡單的四元數）；
簡單的函數與變數定義（用於{{函數圖形}}與{{數列}}）；
簡單的 $L a T e X$ 數學公式輸出；
運算途中呼叫其他模組中返回數字的LUA數學函式或數學模板

使用方法

本模板的第一參數為欲計算的運算式，關於運算式的語法詳見#語法一節。參數number class為指定運算時使用的數體。若使用其軟重新導向版本{{計算}}則有第二參數可以使用，用途為指定輸出的小數位數。

其基礎語法為：

或

參數說明

第一參數：要計算的數學式
|number class=：使用的數體，可以是：
real（實數，與Help:計算功能類似，但Help:計算不支援變數）

complex（複數）

quaternion（四元數）

no calc或mathtag（不計算，輸出對應數學式的 $L a T e X$ 數學公式）
|should math=：布林值，是否直接輸出適用於<math></math>的 $L a T e X$ 原始碼
|use math=：布林值，是否直接輸出完整的<math></math>數學公式
|useOtherModule=：布林值，是否允許載入其他模組中返回數字的LUA數學函式或數學模板

語法

本節將說明本模板輸入的運算式之語法。

項目語法說明範例

數字的表達

實數: +或-實數值、
科學記號: +或-實數值e+或-科學記號值、
含單位的數: +或-實數值單位或
含常數單位: 任何數值表達式 ⋅ 常數或單位的表達式

數字的表達可分為實數表達、科學記號和含單位的數。

實數表達即一般的實數；
科學記號為一實數緊接著一個 e 和一個整數，例如實數值e整數值則代表實數值×10^整數值；
另一個表達方式為一個實數值緊接著一個複變單位或角度單位，例如2i表示兩倍的虛數單位。此表達式不能與科學記號一同使用。能使用的單位包括i、j、k、°和π。其餘需使用 ⋅ 運算子來表達。

`{{複變運算\|+2.735}}`	2.735
`{{複變運算\|-2735e-3}}`	-2.735
`{{複變運算\|27.35e+3}}`	27350
`{{複變運算\|2.735i}}`	2.735i
`{{複變運算\|180°}}`	3.14159...
`{{複變運算\|2π}}`	6.28318...
`{{複變運算\|2⋅e}}`	5.43656...
`{{複變運算\|2e}}`	Lua錯誤計算失敗：缺少運算子，數字 [2, e] 無法運算。

四則運算與冪運算

運算式運算符運算式

依序以中綴表示法表達運算式即可。

`{{複變運算\|2+3}}`	5
`{{複變運算\|2+3*5^2}}`	77
`{{複變運算\|-2+3*5^2}}`	73

函數

函數 ( 參數1, 參數2 ...)

呼叫現有函數。所有函數都至少要傳入一個參數。

`{{複變運算\|factorial(5)}}`	120
`{{複變運算\|sin(pi/6)}}`	0.5
`{{複變運算\|abs(-5)}}`	5

多組運算

運算式1 ; 運算式2

僅會顯示最後一組運算的結果

`{{複變運算\|10;20}}`	20
`{{複變運算\|2+3;2*3}}`	6
`{{複變運算\|2+3;2*3;2^3}}`	8

變數定義

變數名稱 ← 運算式

給特定名稱的變數賦值。需特別注意所有變數的範圍（Scope）皆相同（可想像所有變數皆為全域變數），包括函式中的參數，因此若函式外層已經定義了變數x則函式內部需避免使用同名變數x。

`{{複變運算\|x←5}}`	5
`{{複變運算\|x←5;x+1}}`	6
`{{複變運算\|x←5;3+7;x}}`	5

函數定義

函數名稱 : 參數1, 參數2 ...↦ 函數運算式 ;

函數的語法為以名稱起始並以冒號區隔函數名稱與定義（函數名稱可留空，但冒號不能省去），整個語法要以分號（;）結尾。位於對映符號（↦）前方為函數的變數或參數，後方為函數主體定義，即 $f : x \mapsto f (x);$ 。函數可以有多個變數，但僅能有單個輸出，即

\mathbb {C} ^{n}\mapsto \mathbb {C}

或

\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R}

。同時函數語法不建議寫成巢狀結構，即不建議將函數定義內包含另一個函數的定義，但可以分開定義再行組合；此外，函數定義內不能包含分號，因為分號會視為函數的結尾。

`{{複變運算\|f:x↦x^2+1;(0); f(5)}}`	26
`{{複變運算\|f:x↦x^2+1;(0) }}`	1
`{{複變運算\|:x↦x^2+1;(1)}}`	2

運算子優先序調整

(運算式優先算符運算式) 運算符運算式

使用括號來令特定運算優先進行。

2+3*5→17
( 2+3 ) *5→25

詳細運算子、常數及函式列表

運算子

語法	名稱	元數	說明	優先	範例	效果	math輸出
z基礎算術
a `+`	a 加法	2	a 計算兩數之和	a9	a `7 + 3`	a 10	a ${{7}+{3}}$
a `-`	a 減法	2	a 計算兩數之差	a9	a `7 - 3`	a 4	a ${{7}-{3}}$
a `*`	a 乘法	2	a 計算兩數之乘積	a10	a `7 * 3`	a 21	a ${{7}\times {3}}$
a `×`	a 乘法	2	a 計算兩數之乘積	a10	a `7 × 3`	a 21	a ${{7}\times {3}}$
a `/`	a 除法	2	a 計算兩數相除之商	a10	a `7 / 3`	a 2.3333333333333	a ${{7}\div {3}}$
a `÷`	a 除法	2	a 計算兩數相除之商	a10	a `7 ÷ 3`	a 2.3333333333333	a ${{7}\div {3}}$
a `%`	a 取餘數	2	a 計算兩數相除之餘數	a10	a `7 % 3`	a 1	a
a `^`	a 冪	2	a 計算兩數之冪運算	a12	a `7 ^ 3`	a 343	a ${{7}^{3}}$
a `e`	a 科學記號	2	a 當e左鄰一實數、右鄰一整數時，則為科學記號，以`256e-3`為例，其代表的結果為 $256\times 10^{-3}$ 。要注意的是左邊的數必為單一實數、右邊的數必為整數，可為負數，且中間不能有空格。	a999∞	a `12.3e4`	a 123000	a ${{12.3}\times {{10}^{4}}}$
a `()`	a 括弧	1	a 改變運算優先順序	a999∞	a `2*(2+3)`	a 10	a ${{2}\times {\left({{2}+{3}}\right)}}$
z數論
a `+`	a 正號	1	a 表達一正數	a14	a `+7`	a 7	a $7$
a `-`	a 負號	1	a 計算一數的相反數	a14	a `-7`	a -7	a $-{7}$
a `%`	a 取餘數	2	a 計算兩數相除之餘數	a10	a `7 % 3`	a 1	a
z布林代數
a `&`	a 邏輯且	2	a 兩邏輯是否皆為真	a5	a `(1=1) & (1=2)`	a 0	a ${{\left({{1}={1}}\right)}\land {\left({{1}={2}}\right)}}$
a `↑`	a 邏輯與非	2	a 兩邏輯是否不全為真	a5	a `(1=1) ↑ (1=2)`	a 1	a ${{\left({{1}={1}}\right)}\uparrow {\left({{1}={2}}\right)}}$
a `\|`	a 邏輯或	2	a 兩邏輯是否有一者為真	a4	a `(1=1) \| (1=2)`	a 1	a ${{\left({{1}={1}}\right)}\lor {\left({{1}={2}}\right)}}$
a `↓`	a 邏輯或非	2	a 兩邏輯是否全為假	a4	a `(1=1) ↓ (1=2)`	a 0	a ${{\left({{1}={1}}\right)}\downarrow {\left({{1}={2}}\right)}}$
a `⊕`	a 邏輯互斥或	2	a 兩邏輯是否相異	a4	a `(1=1) ⊕ (1=2)`	a 1	a ${{\left({{1}={1}}\right)}\oplus {\left({{1}={2}}\right)}}$
a `⇔`	a 邏輯若且唯若	2	a 兩邏輯是否相同	a4	a `(1=1) ⇔ (1=2)`	a 0	a ${{\left({{1}={1}}\right)}\leftrightarrow {\left({{1}={2}}\right)}}$
a `~`	a 邏輯非	1	a 邏輯否定	a13	a `~(1=2)`	a 1	a $\lnot \left({{1}={2}}\right)$
a `and`	a 邏輯且	2	a 邏輯且的字母模式。使用時須與前後文各間隔至少一個空格	a5	a `(1=1) and (1=2)`	a 0	a ${{\left({{1}={1}}\right)}\land {\left({{1}={2}}\right)}}$
a `nand`	a 邏輯與非	2	a 邏輯與非的字母模式。使用時須與前後文各間隔至少一個空格	a5	a `(1=1) nand (1=2)`	a 1	a ${{\left({{1}={1}}\right)}\uparrow {\left({{1}={2}}\right)}}$
a `or`	a 邏輯或	2	a 邏輯或的字母模式。使用時須與前後文各間隔至少一個空格	a4	a `(1=1) or (1=2)`	a 1	a ${{\left({{1}={1}}\right)}\lor {\left({{1}={2}}\right)}}$
a `nor`	a 邏輯或非	2	a 邏輯或非的字母模式。使用時須與前後文各間隔至少一個空格	a4	a `(1=1) nor (1=2)`	a 0	a ${{\left({{1}={1}}\right)}\downarrow {\left({{1}={2}}\right)}}$
a `xor`	a 邏輯互斥或	2	a 邏輯互斥或的字母模式。使用時須與前後文各間隔至少一個空格	a4	a `(1=1) xor (1=2)`	a 1	a ${{\left({{1}={1}}\right)}\oplus {\left({{1}={2}}\right)}}$
a `xnor`	a 邏輯若且唯若	2	a 邏輯若且唯若的字母模式。使用時須與前後文各間隔至少一個空格	a4	a `(1=1) xnor (1=2)`	a 0	a ${{\left({{1}={1}}\right)}\leftrightarrow {\left({{1}={2}}\right)}}$
a `not`	a 邏輯非	1	a 邏輯非的字母模式。使用時須與前後文各間隔至少一個空格	a13	a `not (1=2)`	a 1	a $\lnot \left({{1}={2}}\right)$
z數值修約
a `round`	a 數值修約	2	a round 的運算子模式，會將一數四捨五入到指定的位數。使用時須與前後文各間隔至少一個空格	a8	a `π round 6`	a 3.141593	a $\operatorname {round} \left(\pi ,\,6\right)$
z代數
a `⋅`	a 係數	2	a 表達一數的係數	a10	a `2⋅π`	a 6.2831853071796	a ${{2}\,{\pi }}$
a `←`	a 數值指派	2	a 給予變數數值	a7	a `x ← 7;x`	a 7	a ${{{x}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{7}};\,{x}}$
a `↦`	a 函式對映	2	a 給予函式定義	a12	a `:x,y↦x^2+y^2;(5,2)`	a 29	a ${{\left({{\left(x,\,y\right)}\mapsto {\left({{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\right)}}\right)}\gets {\left(5,\,2\right)}}$
a `:`	a 構成函式	2	a 冒號（`:`）為定義函數時區隔函數的名稱與函數的主體，而冒號（`:`）與分號（`;`）的區間構成一個函數的定義。在冒號左邊的內容為函數的名稱，在冒號右邊的內容為函數的內容。若函數沒有名稱也需要輸寫冒號。	a7	a `f:x↦x^2;(5)`	a 25	a ${{\left({{f}:{{x}\mapsto {\left({{x}^{2}}\right)}}}\right)}\gets {5}}$
a `,`	a 數組	2	a 產生數組供多元函式使用	a1	a `7, 3`	a 7, 3	a $7,3$
z複變
a `*`	a 共軛複數	1	a 計算一數的共軛複數	a14	a `*(7+3i)`	a 7-3i	a ${\overline {{7}+{3i}}}$
a `i`	a 虛數單位	1	a 表達純虛數	a999∞	a `3i`	a 3i	a $3i$
z二元關係
a `>`	a 邏輯大於	2	a 比較兩數大小	a6	a `7 > 3`	a 1	a ${{7}>{3}}$
a `<`	a 邏輯小於	2	a 比較兩數大小	a6	a `7 < 3`	a 0	a ${{7}<{3}}$
a `≥`	a 邏輯大於等於	2	a 比較兩數大小	a6	a `7 ≥ 3`	a 1	a ${{7}\geq {3}}$
a `≤`	a 邏輯小於等於	2	a 比較兩數大小	a6	a `7 ≤ 3`	a 0	a ${{7}\leq {3}}$
a `=`	a 邏輯相等	2	a 兩數是否相等	a3	a `7 = 3`	a 0	a ${{7}={3}}$
a `≠`	a 邏輯不相等	2	a 兩數是否不相等	a3	a `7 ≠ 3`	a 1	a ${{7}\neq {3}}$
z技術性
a `;`	a 運算式分隔	2	a 分隔兩運算式，結果將取最後一個分號後的結果	a1	a `7 ; 3`	a 3	a ${{7};\,{3}}$
a `return`	a 返回值	1	a 返回數值。需注意return後方必須跟著一個數值或表達式，否則會變成未定義行為而出現預期外的結果。	a2	a `return 7;8`	a 7	a ${{{\text{return}}\,7};\,{8}}$
z三角函數
a `°`	a 角度單位	1	a 用於表示角度單位的符號。	a10	a `180°`	a 3.1415926535898	a ${{180}\,{{}^{\circ }}}$
a `π`	a 圓周率	1	a 表示圓周率。	a10	a `3π`	a 9.4247779607694	a ${{3}\,{\pi }}$

註：另有>=、<=、==（相等判斷）、~=（不相等判斷）、!=（不相等判斷）、@=（數值指派）、+=（相加指派）、-=（相減指派）、*=（相乘指派）、/=（相除指派）、^=（冪指派）、&=（邏輯與指派）、|=（邏輯或指派）可供使用，其會自動替換為上表中對應的運算元。指派運算元須注意等號左邊必須是一個單一變數詞語，不可以是括弧或函式變換的結果。

常數和數值

語法	名稱	別名	說明	數值	math輸出
`e`	自然底數		自然對數函數的底數	2.718281828459	$e$
`i`	虛數單位		表達純虛數	i	$i$
`j`	四元數單位j		表達純四元數虛數j	j	$j$
`k`	四元數單位k		表達純四元數虛數k	k	$k$
`nan`	非數		用於表示數學上未定義的數值，或計算發生錯誤的數值。	nan	$\mathrm {NaN}$
`nil`	空值	`null`	空值。在math模式下顯示為空白，用於表達或遞移無參數的函式之參數。請注意，由於此值為空值，因此請勿將此值參與運算，以免發生錯誤。	nil
`°`	角度單位		用於表示角度單位的符號。	0.017453292519943	${}^{\circ }$
`π`	圓周率	`pi`	表示圓周率。	3.1415926535898	$\pi$
`ω`	艾森斯坦整數單位		表達艾森斯坦整數單位。	-0.5+0.86602540378444i

函數

語法	名稱	參數數量	說明	範例	效果	math輸出
z基礎算術
a `div`	a 分數	2	a 用於在math輸出時，以分數的形式顯示	a `div(7,3)`	a 2.3333333333333	a ${\frac {7}{3}}$
a `dot`	a 內積	2	a 計算兩數的內積。	a `dot(7,3)`	a 21	a ${{7}\cdot {3}}$
a `pow`	a 指數	2	a 計算兩數之冪運算	a `pow(7,3)`	a 343	a ${{7}^{3}}$
z數論
a `gcd`	a 最大公因數	不定	a 計算多個數的最大公因數。	a `gcd(7,21)`	a 7	a $\gcd \left(7,\,21\right)$
a `lcm`	a 最小公倍數	不定	a 計算多個數的最小公倍數。	a `lcm(7,3,21)`	a 21	a $\operatorname {lcm} \left(7,\,3,\,21\right)$
a `digits`	a 位數	1	a 取得整數的位數個數	a `digits(7321)`	a 4	a
a `divisor`	a 因數	2	a 取得某數的第n個正因數	a `divisor(6,1),divisor(6,2),divisor(6,3),divisor(6,4)`	a 1, 2, 3, 6	a
a `primedivisor`	a 質因數	2	a 取得某數的第n個質因數	a `primedivisor(210,1),primedivisor(210,2),primedivisor(210,3),primedivisor(210,4)`	a 2, 3, 5, 7	a
a `divisorsigma`	a 除數函數	2	a 計算特定整數的除數函數	a `divisorsigma(1,6)`	a 12	a $\sigma _{1}\left(6\right)$
a `eulerphi`	a 歐拉函數	1	a 取得小於等於n的正整數中與n互質的數的數目	a `eulerphi(8)`	a 4	a $\varphi \left(8\right)$
a `findnext`	a 向後尋找	2	a 尋找下一個符合條件的整數	a `findnext(:x↦x % 6 = 0;,6)`	a 12	a
a `findlast`	a 向前尋找	2	a 尋找前一個符合條件的整數	a `findlast(:x↦x % 6 = 0;,10)`	a 6	a
z初等函數
a `abs`	a 絕對值	1	a 計算一數與原點的歐幾里得距離	a `abs(-3)`	a 3	a $\left\vert -{3}\right\vert$
a `log`	a 自然對數	1	a	a `log(e)`	a 1	a $\ln e$
a `log`	a 指定底數的對數	2	a	a `log(2,16)`	a 4	a $\log _{2}16$
a `sgn`	a 符號函數	1	a	a `sgn(-7)`	a -1	a $\operatorname {sgn} \left(-{7}\right)$
a `sqrt`	a 平方根	1	a 計算一數的主平方根值	a `sqrt(16)`	a 4	a ${\sqrt {16}}$
a `inverse`	a 倒數	1	a	a `inverse(7)`	a 0.14285714285714	a $7^{-1}$
a `exp`	a 自然指數	1	a	a `exp(π⋅i)`	a -1	a $e^{{\pi }\,{i}}$
z數值修約
a `floor`	a 地板函數	1	a 向下取整	a `floor(7.3)`	a 7	a $\left\lfloor 7.3\right\rfloor$
a `ceil`	a 天花板函數	1	a 向上取整	a `ceil(7.3)`	a 8	a $\left\lceil 7.3\right\rceil$
a `round`	a 數值修約	3	a 對一數進行四捨五入。第一參數為欲四捨五入的數字；第二參數為欲四捨五入的位數；第三參數為當數值修約底數非十進制時的底數。	a `round(π,6)`	a 3.141593	a $\operatorname {round} \left(\pi ,\,6\right)$
a `trunc`	a 截尾函數	2	a 對一數取截尾函數。第一參數為欲截尾的數字；第二參數為欲截尾的位數。	a `trunc(π,6)`	a 3.141592	a $\operatorname {trunc} \left(\pi ,\,6\right)$
z特殊函數
a `binomial`	a 二項式係數	2	a 計算二項式係數。亦可以被理解為從n個相異元素中取出k個元素的方法數。	a `binomial(7,3)`	a 35	a ${\binom {7}{3}}$
a `factorial`	a 階乘	1	a 計算一數的階乘	a `factorial(7)`	a 5040	a $7!$
a `gamma`	a 伽瑪函數	1	a 計算一數的Γ函式	a `gamma(7)`	a 720	a $\Gamma \left(7\right)$
a `LambertW`	a 朗伯W函式	2	a 計算一數的朗伯W函式	a `LambertW(1)`	a 0.56714329040978	a $W\left(1\right)$
z代數
a `norm`	a 範數	2	a 計算一數或向量的範數	a `norm(3+4i,2)`	a 5	a $\left\\|{{3}+{4i}}\right\\|_{2}$
a `summation`	a 求和符號	3	a 計算以函數表達之數列的總和。第一參數為數列首項；第二參數為數列末項；第三參數為用以表達數列的函數	a `summation(1,5,:x↦x^2;)`	a 55	a $\sum _{{x}={1}}^{5}{{x}^{2}}$
a `product`	a 求積符號	3	a 計算以函數表達之數列的連乘積。第一參數為數列首項；第二參數為數列末項；第三參數為用以表達數列的函數	a `product(1,5,:it↦it;)`	a 120	a $\prod _{{i}={1}}^{5}{i}$
a `<不定>`	a 自行定義函數	不定	a 呼叫自行定義的函數，這些函數通常是 $\mathbb {C} ^{n}\mapsto \mathbb {C}$ 或 $\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R}$ 。以`f:x↦x^2;;f(5)`為例，其中`f:x↦x^2;`定義了函數 $f(x)=x^{2}$ ，並呼叫了函數 $f$ 。函數的語法為以名稱起始並以冒號區隔函數名稱與定義（函數名稱可留空，但冒號不能省去），整個語法要以分號（`;`）結尾。位於對映符號（`↦`）前方為函數的變數或參數，後方為函數主體定義。函數可以有多個變數，但僅能有單個輸出；同時函數語法不建議使用巢狀結構，即不建議將函數定義內包含另一個函數的定義，但可以分開定義再行組合；此外，函式定義內不能包含分號，因為分號會被視為函式結尾。	a `f:x↦x^2;,f(5)`	a f, 25	a ${{{f}:{{x}\mapsto {\left({{x}^{2}}\right)}}};\,{f\left(5\right)}}$
a `ele`	a 代數單位元素	1	a 取得特定代數空間(如四元數)的第n個單位元素，如ele(2)即e₂=j	a `ele(2)`	a j	a $\,e_{2}$
z微積分
a `limit`	a 極限	3	a 計算一函數在x=x₀的極限。需注意此運算為估計，運算精度約僅有7位有效數字。第一參數為x₀；第二參數為逼近方向，1表示右極限、-1表示左極限、0表示一般的極限，此時若極限不存在則返回nan；第三參數為欲求極限的函數。	a `limit(0,1,:x↦div(x,x);)`	a 1	a $\lim _{{x}\to {0}^{+}}{\frac {x}{x}}$
a `diff`	a 導數	2	a 計算一函數在x=x₀的導數。需注意此運算為估計，運算精度約僅有7位有效數字。第一參數為欲求導數x=x₀的函數；第二參數為x₀。	a `diff(cos,div(2⋅pi,3))`	a -0.86602540379001	a $\left.{\frac {d\,{cos}}{d{x}}}\right\|_{{x}={\frac {{2}\,{\pi }}{3}}}$
a `integral`	a 定積分	4	a 計算一函數在從a到b的定積分 $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ 。需注意此運算為估計，運算精度約僅有7位有效數字，且積分範圍（a和b的距離）越大，精確度會越低。第一參數為a、第一參數為b、第三參數為欲求定積分的函數、第四參數為取樣數，若未填寫則使用預設值2000。	a `integral(0,π,:x↦sin(x);)`	a 2	a $\int _{0}^{\pi }{\sin x}\,d{x}$
z複變
a `re`	a 實數部分	1	a 取得一數的實數部分。	a `re(7+3i)`	a 7	a $\operatorname {Re} \left({{7}+{3i}}\right)$
a `im`	a 虛數部分	1	a 取得一數的虛數部分	a `im(7+3i)`	a 3	a $\operatorname {Im} \left({{7}+{3i}}\right)$
a `nonRealPart`	a 非實數部分	1	a 取得一數的非實數部分	a `nonRealPart(7+3i+2j+k)`	a 3i+2j+k	a
a `scalarPartQuaternion`	a 純量部分	1	a 取得四元數的純量部分	a `scalarPartQuaternion(7+3i+2j+k)`	a 7	a $\operatorname {Scalar} \left({{{{7}+{3i}}+{2j}}+{k}}\right)$
a `vectorPartQuaternion`	a 四元數向量部分	1	a 取得四元數的向量部分	a `vectorPartQuaternion(7+3i+2j+k)`	a 3i+2j+k	a $\operatorname {Vector} \left({{{{7}+{3i}}+{2j}}+{k}}\right)$
a `arg`	a 輻角	1	a 計算一複數的輻角	a `arg(3+7i)`	a 1.1659045405098	a $\arg \left({{3}+{7i}}\right)$
a `cis`	a 純虛指數函數	1	a 計算一數的純虛指數函數值	a `cis(π)`	a -1	a $\operatorname {cis} \pi$
a `conjugate`	a 共軛複數	1	a	a `conjugate(7+3i)`	a 7-3i	a ${\overline {{7}+{3i}}}$
z統計
a `average`	a 平均數	不定	a 計算數組的算術平均數。	a `average(7,3,2,1)`	a 3.25	a $average\left(7,\,3,\,2,\,1\right)$
a `geoaverage`	a 幾何平均數	不定	a 計算數組的幾何平均數	a `geoaverage(7,3,2,1)`	a 2.5457298950218	a
a `maximum`	a 最大值	不定	a 計算數組的最大值	a `maximum(7,3,2,1)`	a 7	a $\max \left(7,\,3,\,2,\,1\right)$
a `minimum`	a 最小值	不定	a 計算數組的最小值	a `minimum(7,3,2,1)`	a 1	a $\min \left(7,\,3,\,2,\,1\right)$
a `selectlist`	a 數組元素	不定	a 輸出數組中指定位置的元素。第一參數為要輸出的元素序號，第二參數之後為數組	a `selectlist(2,7,3,2,1)`	a 3	a
a `σ`	a 標準差	不定	a 計算數組的標準差	a `σ(7,3,2,1)`	a 2.2776083947861	a
z技術性
a `hide`	a 隱藏運算式	不定	a 在math模式下隱藏指定運算式。本函式的結果為最後一個參數。可作為連續運算式的表達，所有已輸入的運算式皆會計算，但結果會隱藏。亦可用於自訂函式中的多運算式表達。	a `hide(y←5,x←7,x⋅y),5`	a 35, 5	a $,5$
a `exprs`	a 一系列運算式	不定	a 在math模式時顯示所有運算式，運算結果為最後一則運算式。可作為連續運算式的表達，所有已輸入的運算式皆會計算。	a `exprs(y←5,x←7,x⋅y),5`	a 35, 5	a $\left({{y}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{5}},\,{{x}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{7}},\,{{x}\,{y}}\right),5$
a `lastexpr`	a 最後一則運算式	不定	a 在math模式時顯示最後一則運算式，運算結果也為最後一則運算式。可作為連續運算式的表達，所有已輸入的運算式皆會計算。	a `lastexpr(y←5,x←7,x⋅y),5`	a 35, 5	a ${{x}\,{y}},5$
a `equalexpr`	a 連續等式	不定	a 生成連續等式。	a `equalexpr(2+2,2*2)`	a 4	a ${{2}+{2}}={{2}\times {2}}$
a `call`	a 呼叫函數	不定	a 呼叫一個函式。用於處理匿名函式或返回值是函式的情況。	a `call((:x,y↦sin(x)+cos(y);),π,0)`	a 1	a ${{\left(x,\,y\right)}\mapsto {\left({{\sin x}+{\cos y}}\right)}}\gets \left(\pi ,\,0\right)$
a `<functionName>AtModule<ModulePageName>`	a 呼叫其他模組	不定	a 呼叫其他模組的函式。須注意函式名稱必須是純英文、模組名稱也必須是純英文，不能有空格或其他符號。例如若需要呼叫Module:Element中的`getAtomicWeight`函式，則須表示為`getAtomicWeightAtModuleElement`。	a `getAtomicWeightAtModuleElement(10)`	a 20.1797	a
a `range`	a 指定範圍	3	a 指定一範圍，當一數落在該範圍外則視為非數（NaN）。第一參數為要判定的數，第二和第三參數分別為範圍的最小和最大值。	a `range(7,1,5),range(4,1,5)`	a nan, 4	a
a `if`	a 條件運算式	3	a 指定特定條件下時的運算式。第一參數為條件、第二參數為條件為真時的運算式、第三參數為條件為假時的運算式。	a `if(3>2,1,0)`	a 1	a ${\begin{cases}{1},&{\text{if }}{{3}>{2}}\\{0},&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
a `iff`	a 函式型條件運算式	3	a 同if，不過參數可以是函式，條件成立時才會呼叫。	a `iff(3>2,:nil↦1;,:nil↦2;)`	a 1	a ${\begin{cases}{{}{1}},&{\text{if }}{{3}>{2}}\\{{}{2}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
a `ifelse`	a 條件運算式 if...else	不定	a 類似if，用法為ifelse(條件1, 條件1為真的結果, 條件2, 條件2為真的結果, ... , 條件n, 條件n為真的結果, 條件皆為假的結果)	a `ifelse(3>2,10,3<2,20,30)`	a 10	a ${\begin{cases}{10},&{\text{if }}{{3}>{2}}\\{20},&{\text{if }}{{3}<{2}}\\{30},&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
a `ifelsef`	a 函式型條件運算式 if...else	不定	a 同ifelse，不過參數可以是函式，條件成立時才會呼叫。	a `ifelsef(3>2,:nil↦10;,3<2,:nil↦20;,:nil↦30;)`	a 10	a ${\begin{cases}{{}{10}},&{\text{if }}{{3}>{2}}\\{{}{20}},&{\text{if }}{{3}<{2}}\\{{}{30}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
a `random`	a 隨機數	2	a 取一個隨機數。若無指定參數，或參數中包含非數（NaN），則取0-1之間的隨機實數；若指定了參數1，則取1到參數1之間的隨機數；若指定了參數1與參數2，則取參數1到參數2之間的隨機數	a `random(1,10)`	a 8	a
a `randomseed`	a 設定隨機種子碼	1	a 將隨機數的種子碼設定為輸入的參數，並返回實際設定的種子碼。若輸入的參數非實數則用當前時間隨機產生種子碼。	a `randomseed(10)`	a 10	a
z三角函數
a `sin`	a 正弦	1	a 計算一數的正弦值	a `sin(π)`	a 0	a $\sin \pi$
a `cos`	a 餘弦	1	a 計算一數的餘弦值	a `cos(π)`	a -1	a $\cos \pi$
a `tan`	a 正切	1	a 計算一數的正切值	a `tan(π)`	a 0	a $\tan \pi$
a `cot`	a 餘切	1	a 計算一數的餘切值	a `cot(div(π,2))`	a 0	a $\cot {\frac {\pi }{2}}$
a `sec`	a 正割	1	a 計算一數的正割值	a `sec(π)`	a -1	a $\sec \pi$
a `csc`	a 餘割	1	a 計算一數的餘割值	a `csc(div(π,2))`	a 1	a $\csc {\frac {\pi }{2}}$
a `asin`	a 反正弦	1	a 計算一數的反正弦值	a `asin(1)`	a 1.5707963267949	a $\arcsin 1$
a `acos`	a 反餘弦	1	a 計算一數的反餘弦值	a `acos(1)`	a 0	a $\arccos 1$
a `atan`	a 反正切	1	a 計算一數的反正切值	a `atan(1)`	a 0.78539816339745	a $\arctan 1$
a `acot`	a 反餘切	1	a 計算一數的反餘切值	a `acot(1)`	a 0.78539816339745	a $\operatorname {arccot} 1$
a `asec`	a 反正割	1	a 計算一數的反正割值	a `asec(1)`	a 0	a $\operatorname {arcsec} 1$
a `acsc`	a 反餘割	1	a 計算一數的反餘割值	a `acsc(1)`	a 1.5707963267949	a $\operatorname {arccsc} 1$
a `sinh`	a 雙曲正弦	1	a 計算一數的雙曲正弦值	a `sinh(π)`	a 11.548739357258	a $\sinh \pi$
a `cosh`	a 雙曲餘弦	1	a 計算一數的雙曲餘弦值	a `cosh(π)`	a 11.591953275522	a $\cosh \pi$
a `tanh`	a 雙曲正切	1	a 計算一數的雙曲正切值	a `tanh(π)`	a 0.99627207622075	a $\tanh \pi$
a `coth`	a 雙曲餘切	1	a 計算一數的雙曲餘切值	a `coth(π)`	a 1.0037418731973	a $\coth \pi$
a `sech`	a 雙曲正割	1	a 計算一數的雙曲正割值	a `sech(π)`	a 0.086266738334054	a $\operatorname {sech} \pi$
a `csch`	a 雙曲餘割	1	a 計算一數的雙曲餘割值	a `csch(π)`	a 0.086589537530047	a $\operatorname {csch} \pi$
a `asinh`	a 雙曲反正弦	1	a 計算一數的雙曲反正弦值	a `asinh(1)`	a 0.88137358701954	a $\operatorname {arcsinh} 1$
a `acosh`	a 雙曲反餘弦	1	a 計算一數的雙曲反餘弦值	a `acosh(1)`	a 0	a $\operatorname {arccosh} 1$
a `atanh`	a 雙曲反正切	1	a 計算一數的雙曲反正切值	a `atanh(0.5)`	a 0.54930614433405	a $\operatorname {arctanh} 0.5$
a `acoth`	a 雙曲反餘切	1	a 計算一數的雙曲反餘切值	a `acoth(1.5)`	a 0.80471895621705	a $\operatorname {arccoth} 1.5$
a `asech`	a 雙曲反正割	1	a 計算一數的雙曲反正割值	a `asech(1)`	a 0	a $\operatorname {arcsech} 1$
a `acsch`	a 雙曲反餘割	1	a 計算一數的雙曲反餘割值	a `acsch(1)`	a 0.88137358701954	a $\operatorname {arccsch} 1$
a `cis`	a 純虛指數函數	1	a 計算一數的純虛指數函數值	a `cis(π)`	a -1	a $\operatorname {cis} \pi$
a `gd`	a 古德曼函數	1	a 計算一數的古德曼函數值	a `gd(e)`	a 1.4390113159637	a $\operatorname {gd} e$
a `arcgd`	a 反古德曼函數	1	a 計算一數的反古德曼函數值	a `arcgd(1)`	a 1.2261911708835	a $\operatorname {arcgd} 1$
a `cogd`	a 餘古德曼函數	1	a 計算一數的餘古德曼函數值	a `cogd(π)`	a 0.08648169656714	a $\operatorname {cogd} \pi$

自訂函式用法

具名函式

基本函式定義方式為「 $f : x \mapsto f (x);$ 」。

例如若要表達 $f(x)=x^{2}$ ，則其應寫為「 $f : x \mapsto x^2;$ 」

匿名函式

匿名函式的語法為「: 參數1, 參數2 ...↦ 函數運算式 ;」

以上例

x^{2}

而言，對應的匿名函式應寫為「 $: x \mapsto x^2;$ 」

匿名函式可以被直接呼叫，例如「{{計算結果|:x↦x^2;(5)}}」→「 ${{\left({{x}\mapsto {\left({{x}^{2}}\right)}}\right)}\gets {5}}=25$ 」

函式中的函式

函式中可以包含另一個函式，例如「{{計算結果|:x↦exprs(f:y↦y^2;,f(x)^2);(5)}}」→「 ${{\left({{x}\mapsto {\left({{{f}:{{y}\mapsto {\left({{y}^{2}}\right)}}};\,{{f\left(x\right)}^{2}}}\right)}}\right)}\gets {5}}=625$ 」

函式作為參數: 部分函式是以函式作為參數，例如summation( )、product( )和一些微積分函式。條件運算式（if( )）也有函式呼叫的版本iff( )。

求和、求積與微積分函數
求和函數（summation(start,end,function)， $\sum _{i=\mathrm {start} }^{\mathrm {end} }\mathrm {function}$ ）、求積函數（summation(start,end,function)， $\prod _{i=\mathrm {start} }^{\mathrm {end} }\mathrm {function}$ ）、微分（diff(function,x0)， $\left.{\tfrac {d\,\mathrm {function} }{dx}}\right|_{x=x0}$ ）、積分（integral(a,b,function)， $\int _{a}^{b}\mathrm {function} \,dx$ ）、極限（limit(x0,way,function)， $\lim _{x\to x0^{\mathrm {way} }}\mathrm {function}$ ）皆須傳入一個匿名函式，作為其數列計算的依據。

以求和函數summation(start,end,function)為例，若要表達 $x^{2}$ ， $x$ 從1到5的和，則代碼為：
「{{計算結果|summation(1, 5, :x↦x^2;)}}」→「 $\sum _{{x}={1}}^{5}{{x}^{2}}=55$ 」
- 求和/求積函數的變數
  一般求和/求積函數的變數通常是i、j或k，而在此運算系統中，i、j與k已被視作常數無法使用。若需要讓顯示出來的結果為i、j或k可在英文字母後方加「t」，如it、jt或kt，顯示時t會省去：
「{{計算結果|summation(1, 5, :it↦it^2;)}}」→「 $\sum _{{i}={1}}^{5}{{i}^{2}}=55$ 」
函式條件運算式（iff(條件,為真,為假)）
條件運算式除了給定條件外，其為真的結果與為假的結果要是一個無參數的匿名函式。無參數的匿名函式定義方式為「: nil↦ 函數運算式 ;」
例如「{{計算結果|x←3; iff(x>2, :nil↦5;, :nil↦10;)}}」→「 ${{{x}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{3}};\,{\begin{cases}{{}{5}},&{\text{if }}{{x}>{2}}\\{{}{10}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}=5$ 」

例如「{{計算結果|x←1; iff(x>2, :nil↦5;, :nil↦10;)}}」→「 ${{{x}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{1}};\,{\begin{cases}{{}{5}},&{\text{if }}{{x}>{2}}\\{{}{10}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}=10$ 」

函式的遞迴: 具名函式可以遞迴調用，但須注意遞迴需要消耗較多的效能。函式的遞迴需要給出初始條件與遞迴結果，因此需要使用條件運算式，若用if( )會導致無窮呼叫而發生錯誤，因此需要使用到iff( )。

以階乘為例， $n\leq 1$ 時定義為1（初始條件），其餘為 $a_{n-1}\times n$ ：
例如「{{計算結果|f:n↦iff(n≤1, 1, :nil↦f(n-1)*n;);,f(5)}}」→「 ${{{f}:{{n}\mapsto {\begin{cases}{1},&{\text{if }}{{n}\leq {1}}\\{{}{\left({{f\left({{n}-{1}}\right)}\times {n}}\right)}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}};\,{f\left(5\right)}}=f,120$ 」

範例

{{計算|:x,y↦x^2+y^2;(5,2)}}→29
- 使用{{計算結果}}： ${{\left({{\left(x,\,y\right)}\mapsto {\left({{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\right)}}\right)}\gets {\left(5,\,2\right)}}=29$
{{計算|maximum(2,5,7,6,9,999)}}→999
- 使用{{計算結果}}： $\max \left(2,\,5,\,7,\,6,\,9,\,999\right)=999$
{{計算|log(2,256)}}→8
- 使用{{計算結果}}： $\log _{2}256=8$
{{計算|sin(div(pi,6))}}→0.5
- 使用{{計算結果}}： $\sin {\frac {\pi }{6}}=0.5$
{{計算|sin(pi/6)}}→0.5
- 使用{{計算結果}}： $\sin \left({{\pi }\div {6}}\right)=0.5$
{{計算|cos(div(2⋅pi,3))}}→-0.5
- 使用{{計算結果}}： $\cos {\frac {{2}\,{\pi }}{3}}=-0.5$
{{計算|factorial(5)}}→120
- 使用{{計算結果}}： $5!=120$

限制

本模板僅支援輸入數字（0-9）、已定義的運算子符號（≤、⇔、≠、&、()、+、*、-、/、÷、⋅、:、↓、|、~、←、↑、⊕、×、°、;、=、≥、<、>、↦、,、%、^）和半形英文字母（a-z及A-Z），其餘字元都會被忽略。

{{複變運算|2 ≈ 3}}→「Lua錯誤：計算失敗：缺少運算子，數字 [2, 3] 無法運算。」（≈被忽略，剩下「2<空白>3」而無法運算）
{{複變運算|²+₆}}→「Lua錯誤：計算失敗：加法運算子需要2個運算數，但只找到1個運算數。」（²和₆被忽略，剩下「+」而無法運算）

參數

以下是該模板的模板資料，適用於視覺化編輯器等工具。

複變運算模板資料

進行複變數的運算

模板參數[編輯模板資料]
此模板以參數行內格式為優先。
參數		描述	類型	狀態
運算式	`1`	要計算的運算式	字串	必填
小數位數 (計算模板專用)	`2`	使用{{計算}}模板時才支援這個參數。	數值	非必填
運算數字模式	`number class`	要運算的數字模式，可以是實數、cmath(複數)、qmath(四元數)、no calc(不計算)、mathtag(以<math>輸出)或直接寫Module:模組名稱.運算庫來指定使用特定模組來運算。建議值 `real` `cmath` `qmath` `no calc` `mathtag` `實數` `複數` `四元數` 預設 cmath	字串	非必填
使用<math>	`use math`	是否使用<math> 預設 no	布林值	非必填
是否以<math>原碼輸出	`should math`	輸出結果字串是否轉換為<math>原碼格式輸出。若use math設定為是，則此參數會自動當成是。預設 no	布林值	非必填
是否可呼叫其他模組	`useOtherModule`	是否可呼叫其他模組的函式。預設 no	布林值	非必填

重新導向

{{計算}}

參見

Help:計算

上述文件嵌入自Template:複變運算/doc。
編者可以在本模板的沙盒和測試樣例頁面進行實驗。
請在/doc子頁面中添加分類。本模板的子頁面。