以下的定義在定理的敘述和證明中會不斷使用到。[ 7]
設 K 和 X 是兩個度量空間 ，
C
(
K
,
X
)
{\displaystyle C(K,X)}
集合 。如果
C
(
K
,
X
)
{\displaystyle C(K,X)}
子集
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
對所有
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
鄰域
U
x
{\displaystyle U_{x}}
y
∈
U
x
{\displaystyle y\in U_{x}}
f
∈
F
{\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}
d
(
f
(
y
)
,
f
(
x
)
)
<
ϵ
{\displaystyle d\left(f(y),f(x)\right)<\epsilon }
則稱
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
等度連續
設 K 是一個度量空間 ，
C
(
K
,
R
)
{\displaystyle C(K,\mathbf {R} )}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
C
(
K
,
R
)
{\displaystyle C(K,\mathbf {R} )}
子集
如果存在
M
>
0
{\displaystyle M>0}
f
∈
F
,
x
∈
K
{\displaystyle f\in {\mathcal {F}},x\in K}
|
f
(
x
)
|
<
M
{\displaystyle |f(x)|<M}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
一致有界 的。
如果對所有
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
sup
f
∈
F
|
f
(
x
)
|
<
∞
{\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}}}|f(x)|<\infty }
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
逐點有界 的。 注意到一致有界可推得逐點有界，此外，如果已知
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
完全有界
這是最簡單的情況，此時阿爾澤拉-阿斯科利定理的可以敘述為[ 8]
考慮一個定義在閉區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
{
f
n
k
}
k
∈
N
{\displaystyle \{f_{n_{k}}\}_{k\in \mathbf {N} }}
均勻收斂 的。另一方面，如果
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
{
f
n
k
}
k
∈
N
{\displaystyle \{f_{n_{k}}\}_{k\in \mathbf {N} }}
{
f
n
k
r
}
r
∈
N
{\displaystyle \{f_{n_{k_{r}}}\}_{r\in \mathbf {N} }}
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
設
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
sup
f
∈
F
,
x
∈
K
|
f
′
(
x
)
|
<
∞
{\displaystyle \sup _{f\in {\mathcal {F}},x\in K}|f'(x)|<\infty }
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
[ 7]
對於一般的度量空間，阿爾澤拉-阿斯科利定理斷言[ 8]
設
X
{\displaystyle X}
緊 度量空間，
Y
{\displaystyle Y}
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle C(X,Y)}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
緊緻開拓撲 中是緊緻的若且唯若它是等度連續 、完全有界的閉集。 這裡，
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle C(X,Y)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
F
{\displaystyle F}
完全有界 若且唯若
∀
x
∈
X
{\displaystyle \forall x\in X}
{
f
(
x
)
:
f
∈
F
}
{\displaystyle \{f(x):f\in F\}}
Y
{\displaystyle Y}
相對緊緻 的子集。如果一個集合 A 在緊緻開拓撲 中是緊緻的，那麼 A 中的所有序列都擁有一個在 A 中均勻收斂的子序列。
更廣泛地，對於 X 是緊郝斯多夫空間 的情況，定理一樣成立：[ 9]
設
X
{\displaystyle X}
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle C(X,Y)}
F
{\displaystyle F}
緊緻開拓撲 中是緊緻的若且唯若它是等度連續 、完全有界的閉集。 阿爾澤拉-阿斯科利定理是對於緊郝斯多夫空間上，連續函數的代數性質的一個重要結果。進一步的研究可以將上面的結果推廣。比如說，函數的取值空間可以換為郝斯多夫的拓撲向量空間 ，這時仍然有基本相同的定理[ 10] [ 11]
以下證明在實數體上的敘述。
該定理的必要性比較顯然，實用價值也比較小[ 12] X 到完備的度量空間 Y 的任何一列連續映射序列 {f n X 上均勻收斂，那麼它收斂到一個連續映射 f. 由緊度量空間上，連續映射 f 的均勻連續 性和收斂的一致性，可以證明該映射序列是等度連續的。同時由收斂的一致性和連續映射將緊集映為緊集的性質，可以推出該序列完全有界。[ 7]
若集合 F 中的映射不一致有界，則由定義，對任意 n ∈N , 存在 F 中的映射 f n n , 於是 {f n F 中的映射不等度連續，則存在 ε>0，對任意的 n ∈N ，存在 x 1, x 2 和集合中某個映射 f n d (x 1 ,x 2 ) < 1/n，但 d(f n x 1 ), f n x 2 )) ≥ ε. 這樣，{f n [ 7]
充分性的證明用到了對角論證法 [ 12] 有限集 ，則充分性顯然。因此，設 X 是個無窮集，由 X 的緊緻性可知，存在在 X 中稠密 的序列
E
=
{
x
k
}
k
∈
N
{\displaystyle E=\{x_{k}\}_{k\in \mathbf {N} }}
考慮
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
{
f
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
{
f
n
(
x
1
)
}
{\displaystyle \{f_{n}(x_{1})\}}
波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理 和 Y 的完備性，該序列擁有收斂的子列，記作
{
f
n
1
(
x
1
)
}
{\displaystyle \{f_{n}^{1}(x_{1})\}}
{
f
n
1
(
x
2
)
}
{\displaystyle \{f_{n}^{1}(x_{2})\}}
{
f
n
2
(
x
2
)
}
{\displaystyle \{f_{n}^{2}(x_{2})\}}
{
f
n
1
}
,
{
f
n
2
}
,
{
f
n
3
}
,
…
{\displaystyle \{f_{n}^{1}\},\{f_{n}^{2}\},\{f_{n}^{3}\},\dots }
g
n
=
f
n
n
{\displaystyle g_{n}=f_{n}^{n}}
{
g
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{g_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }}
x
k
{\displaystyle x_{k}}
{
g
n
(
x
k
)
}
n
≥
k
{\displaystyle \{g_{n}(x_{k})\}_{n\geq k}}
{
f
n
k
(
x
k
)
}
n
∈
N
{\displaystyle \{f_{n}^{k}(x_{k})\}_{n\in \mathbf {N} }}
{
g
n
(
x
k
)
}
n
∈
N
{\displaystyle \{g_{n}(x_{k})\}_{n\in \mathbf {N} }}
[ 7] [ 12]
給定
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
U
x
{\displaystyle U_{x}}
{
U
x
}
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \{U_{x}\}_{x\in [a,b]}}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
{
ξ
1
,
…
,
ξ
l
}
{\displaystyle \{\xi _{1},\dots ,\xi _{l}\}}
[
a
,
b
]
=
⋃
i
=
1
l
U
ξ
i
{\displaystyle [a,b]=\bigcup _{i=1}^{l}U_{\xi _{i}}}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
{
x
n
1
,
…
,
x
n
l
}
{\displaystyle \{x_{n_{1}},\dots ,x_{n_{l}}\}}
x
n
i
∈
U
ξ
i
{\displaystyle x_{n_{i}}\in U_{\xi _{i}}}
g
n
{\displaystyle g_{n}}
x
n
i
{\displaystyle x_{n_{i}}}
N
i
{\displaystyle N_{i}}
N
i
{\displaystyle N_{i}}
|
g
m
(
x
n
i
)
−
g
n
(
x
n
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{n}(x_{n_{i}})|<\epsilon }
N
=
max
1
≤
i
≤
l
N
i
{\displaystyle N=\max _{1\leq i\leq l}N_{i}}
N
i
{\displaystyle N_{i}}
[ 7] [ 12]
對 X 中每個點 x，存在一個
ξ
i
{\displaystyle \xi _{i}}
x
∈
U
ξ
i
{\displaystyle x\in U_{\xi _{i}}}
|
g
m
(
x
n
i
)
−
g
n
(
x
n
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{n}(x_{n_{i}})|<\epsilon }
|
g
m
(
x
n
i
)
−
g
m
(
ξ
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x_{n_{i}})-g_{m}(\xi _{i})|<\epsilon }
|
g
m
(
x
)
−
g
m
(
ξ
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x)-g_{m}(\xi _{i})|<\epsilon }
|
g
n
(
x
n
i
)
−
g
n
(
ξ
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{n}(x_{n_{i}})-g_{n}(\xi _{i})|<\epsilon }
|
g
n
(
x
)
−
g
n
(
ξ
i
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |g_{n}(x)-g_{n}(\xi _{i})|<\epsilon }
可知
|
g
m
(
x
)
−
g
n
(
x
)
|
<
5
ϵ
{\displaystyle |g_{m}(x)-g_{n}(x)|<5\epsilon }
[ 7] [ 12]
因此，
{
g
n
}
{\displaystyle \{g_{n}\}}
C
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle C([a,b])}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
C
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle C([a,b])}
{
g
n
}
{\displaystyle \{g_{n}\}}
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
[ 7] [ 12]
^ Ascoli, G. (1883–1884), "Le curve limiti di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521–586 .
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^ 12.0 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 V. Hutson，J. Pym，M. Cloud. Applications of Functional Analysis and Operator Theory. Elsevier. 2015: 154-155. ISBN 9780080527314
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![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
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![{\displaystyle C([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e4f44fa2823fcdffc5fc26981c0d4fa57cade9)
