皮亚诺存在性定理

在数学中, 特别是在常微分方程的研究中，皮亚诺存在定理（又称为皮亚诺定理、柯西-皮亚诺定理）是以数学家朱塞佩·皮亚诺的名字命名的一个定理。这个定理是常微分方程研究中的基本定理之一，保证了微分方程在一定的初始条件下的解的存在性。

历史

这个定理最早由数学家朱塞佩·皮亚诺在1886年发表，但是他给出的证明是错误的。1890年他又发表了一个正确的运用逐次逼近法的证明。

定理

设 D 为R × R 的一个开子集，以及一个连续函数：

f\colon D\to \mathbb {R}

皮亚诺存在定理：定义在 D 上的一个一阶线性常微分方程（其中 $(x_{0},y_{0})\in D$ ）

f\left(x,y(x)\right)=y'(x)

y\left(x_{0}\right)=y_{0}

必然有局部解。也就是说，必定存在一个关于 $x_{0}$ 的邻域 I，以及一个函数：

z\colon I\to \mathbb {R}

满足

\forall x\in I,\ \ f\left(x,z(x)\right)=z'(x)

。

相关定理

皮亚诺存在定理可以和另外一个存在性定理：皮卡-林德洛夫定理作比较。相比起皮亚诺存在定理，皮卡-林德洛夫定理对函数 $f$ 的要求更严格，但结论也更强。皮卡-林德洛夫定理要求函数 $f$ 局部地满足利普希茨条件，也就是说在任意一点 x 的附近，都有一个常数 $K_{x}$ 和一个邻域 $I_{x}$ ，使得对于 $I_{x}$ 中任意的 $a$ 、 $b$ 两点，都有：

|f(a)-f(b)|\leq K_{x}|a-b|

。

这个要求比单纯的连续性要高，但是得出的结论也更强了：皮卡-林德洛夫定理说明，在满足上述要求时，微分方程的局部解不仅存在而且是唯一的。

例子

设 $T>0$ 为一个常数，考虑函数

h'=\left\vert h\right\vert ^{\frac {1}{2}},\ \ \ y(T)=0

，其定义域设为

\left[0,T\right]

。

根据皮亚诺存在定理，由于函数 $f:x\to \left\vert x\right\vert ^{\frac {1}{2}}$ 在 $\left[0,T\right]$ 上连续，微分方程有解。但由于 $f$ 在0处的导数为正无穷， $f$ 在 $\left[0,1\right]$ 上不满足利普希茨条件，于是解不一定是唯一的。事实上：对于任意的 $0<t_{0}<T$ ，定义为：当 $t\leq t_{0}$ 时 $h(t)=(t-t_{0})^{2}/4$ ，当 $t_{0}\leq t\leq T$ 时 $y=0$ 的函数 $h$ 都是微分方程的解，也就是说解有无穷多个。这个反例来源于一个物理模型：假设有一个漏水的容器，其水面高度（函数 $h$ ）和时间的关系由以上的微分方程定义的话，那么由于事实上可以观测到漏水的过程，所以方程一定有解。但如果只知道容器在漏完水后的某个时刻的状态（ $y(T)=0$ ）的话，是无法倒过来推测原来的水位有多高的（也就是说没有唯一解）。

参考来源

G. Peano, Sull’integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine, Atti Accad. Sci. Torino, 21 (1886) 677–685.
G. Peano, Demonstration de l’intégrabilité des équations différentielles ordinaires, Mathematische Annalen, 37 (1890) 182–228.
W. F. Osgood, Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung, Monatsheft Mathematik,9 (1898) 331–345.
E.A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955.