第一個對自然對數底 e是超越數的證明可以追溯到1873年。我們現在跟隨的是大衛·希爾伯特的策略。他給出了夏爾·埃爾米特的原始證明的簡化。思路如下所示:
為尋找矛盾,假設 是代數數。那就存在一個有限的整係數集 滿足下列等式:
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現在對於一個正整數 ,我們定義如下的多項式:
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並在上述等式的兩端乘上
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於是我們得到等式:
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該等式可以寫成這種形式
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其中
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引理 1. 對於恰當選擇的 , 是非零整數。
證明: P 的每一項都是整數乘以階乘的和,這可以從以下的關係式得出
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對於任何正整數 j 成立(考慮Γ函數)。
它是非零的,因為對於每一個滿足 0< a ≤ n 的 a ,
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中的被積函數均為 e−x 乘以一些項的和,在積分中用 x - a 替換 x 後, x 的最低冪次是 k+1 。然後這就變成了具有以下形式的積分的和
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其中 k+1 ≤ j ,而且它是一個能被 (k+1)! 整除的整數。在除以 k! 後,我們得到模 (k+1) 得 0 的數。
現在我們只須考慮a=0的項。我們有:
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於是
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通過選擇 k ,使得 k+1 是大於 n 與 |c0| 的質數,我們可以得出 模 (k+1) 為非零,從而該數為非零整數。
引理 2. 對於充分大的 k , 。
證明: 注意到
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使用 和 在區間 [0,n] 的上限 G 和 H ,我們可以推出
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由於
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我們有
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這點足以完成對引理的證明。
注意可以選擇滿足兩個引理的 ,從而我們能得出矛盾。進而得以證明 的超越性。
庫爾特·馬勒在1932年把超越數分為3類,分別叫做S數、T數和U數[3]。這些類別的定義利用了劉維爾數思想的擴充。
實數的無理性度量
一種定義劉維爾數的方式是考慮對於給定的實數 ,可以使得一次多項式 盡可能小但不精確地等於 0 。這裡的 , 是滿足 , 以正整數 為界的整數。
令 為這些多項式所取的最小非零絕對值,並且令:
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常稱為實數 的無理性度量(measure of irrationality)。對於有理數 ,而且對無理數其值至少為1 。劉維爾數可以定義為具有無窮大的無理性度量的數。Thue–Siegel–Roth定理表明了實代數無理數的無理性度量均為 1 。
複數的超越性度量
接下來考慮多項式對於複數 的取值,這些多項式係數為整數,次數至多為 ,而且高至多為 ,此處的 , 是正整數。
令 為以 為變量的上述多項式所取的最小非零值,並且令:
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假如對於盡可能小的正整數 , 為無窮大,則這種情況下複數 稱為 次的U數。
現在我們可以定義
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常稱為 的超越性度量(measure of transcendence)。假如 有界,則 有限, 稱為S數。如果 有限而無界,則 稱為T數。 為代數數若且唯若 。
顯然劉維爾數是U數的子集。威廉·勒維克在1953年構造了任意次數的U數[4][5]。劉維爾數是不可數集,從而U數也是。它們的測度為 0 [6]。
T數組成的集合測度亦為 0 [7]。人們花了 35 年時間證明它們存在。沃爾夫岡·M·施密特在 1968 年證明了T數的樣例存在。由是可知幾乎所有複數都是S數[8]。馬勒證明了當 為任意非零代數數時 均為S數[9][10]:這點揭示了 是S數且給出了 的超越性證明。對於 我們至多知道它不是U數。其他更多的超越數仍未歸類。
兩個數 , 稱為代數相關,當存在 2 個變量的整係數非零多項式 滿足 。一個有力的定理指出,屬於相同馬勒分類的 2 個複數是代數相關的[5][11]。這允許我們構造新形式的超越數,例如劉維爾數與 或 的和。
通常推測 S 代表馬勒的老師卡爾·西格爾(Carl Ludwig Siegel),而 T 和 U 是接下來的兩個字母。
Koksma 的等價分類
Jurjen Koksma 在 1939 年提出了基於代數數逼近的另一種分類[3][12]。
考慮用次數 且高 的代數數逼近複數 。令 為該有限集中滿足 取最小正值得代數數。定義 和 如下:
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若對於最小的正整數 , 為無窮大,則稱 為 次的U*數。
若 有界且不收斂到 0 ,則則稱 為S*數,
一個數 被稱為 A*數 ,當 收斂到 0 。
若所有的 均為有限但無界,則稱 x 為T*數,
Koksma和馬勒的分類是等價的,因為它們將超越數以同樣的方式分類[12]。A*數就是代數數[8]。
勒維克的構造
令
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可以證明 (劉維爾數)的 次方根是 次的U數[13]。
此構造可以改進以建立 次U數的不可數個系列。令 為上述 的級數中 10 的冪次的集合。 所有子集的集合是不可數的。在表示 的級數中刪去任意一個 的子集,將產生不可數個顯然的劉維爾數,它們每一個的 次方根都是次數為 的U數。
類型
數列 的上界稱為類型(type)。幾乎所有實數都是類型為 1 的S數,此類型數在實S數中是最小的。幾乎所有複數都是類型為 1/2 的S數,此類型數在複S數中同樣是最小的。以上判斷對於幾乎所有數成立的猜想由馬勒提出,於 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 證明[4]。