蒙日圓

法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ 相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是 $x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$ 。這一結論被稱為蒙日圓。

證明

設 $F_{1},F_{2}$ 分別為橢圓的左右焦點，焦距為 $c$ 。設點 $M,N$ 分別為點 $F_{1}$ 關於 $PA$ ， $F_{2}$ 關於 $PB$ 的對稱點。由橢圓的光學性質^[a]知 $F_{2}$ ， $A$ ， $M$ 及 $F_{1}$ ， $B$ ， $N$ 分別三點共線，由橢圓定義有 $MF_{2}=NF_{1}=2a$ 。設 $F_{1}M$ 交直線 $PA$ 於點 $Q$ ， $F_{2}N$ 交直線 $PB$ 於點 $S$ ，分別延長 $MF_{1}$ ， $NF_{2}$ 交於點 $R$ ，則 $OQ={\frac {1}{2}}MF_{2}={\frac {1}{2}}NF_{1}=OS=a$ ， $OR={\frac {1}{2}}F_{1}F_{2}=c$ 。在矩形 $PQRS$ 中，由平面幾何知識易知 $OP^{2}+OR^{2}=OQ^{2}+OS^{2}$ ，於是 $OP^{2}=OQ^{2}+OS^{2}-OR^{2}=a^{2}+b^{2}$ 。