蒙日圆

法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ 相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是 $x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$ 。这一结论被称为蒙日圆。

证明

设 $F_{1},F_{2}$ 分别为椭圆的左右焦点，焦距为 $c$ 。设点 $M,N$ 分别为点 $F_{1}$ 关于 $PA$ ， $F_{2}$ 关于 $PB$ 的对称点。由椭圆的光学性质^[a]知 $F_{2}$ ， $A$ ， $M$ 及 $F_{1}$ ， $B$ ， $N$ 分别三点共线，由椭圆定义有 $MF_{2}=NF_{1}=2a$ 。设 $F_{1}M$ 交直线 $PA$ 于点 $Q$ ， $F_{2}N$ 交直线 $PB$ 于点 $S$ ，分别延长 $MF_{1}$ ， $NF_{2}$ 交于点 $R$ ，则 $OQ={\frac {1}{2}}MF_{2}={\frac {1}{2}}NF_{1}=OS=a$ ， $OR={\frac {1}{2}}F_{1}F_{2}=c$ 。在矩形 $PQRS$ 中，由平面几何知识易知 $OP^{2}+OR^{2}=OQ^{2}+OS^{2}$ ，于是 $OP^{2}=OQ^{2}+OS^{2}-OR^{2}=a^{2}+b^{2}$ 。