納維-斯托克斯存在性與光滑性 （英語：Navier–Stokes existence and smoothness 納維－斯托克斯方程式 （英語：Navier-Stokes equations 、法語：Équations de Navier-Stokes ）其解的數學性質有關的數學問題，是美國克雷數學研究所 在2000年提出的7個千禧年大獎難題 中的一個問題。
平面雷射誘導熒光 納維－斯托克斯方程式是流體力學 的重要方程式，可以描述空間中流體 （液體 或氣體 ）的運動。納維－斯托克斯方程式的解可以用到許多實務應用的領域中。不過對於納維－斯托克斯方程式解的理論研究仍然不足，尤其納維－斯托克斯方程式的解常會包括紊流 。雖然紊流在科學及工程中非常的重要，不過紊流仍是未解決的物理學問題 之一。
許多納維－斯托克斯方程式解的基本性質都尚未被證明。例如數學家就尚未證明在三維座標，特定的初始條件下，納維－斯托克斯方程式是否有符合光滑性的解。也尚未證明若這樣的解存在時，其動能 有其上下界，這就是「納維-斯托克斯存在性與光滑性」問題。
由於瞭解納維－斯托克斯方程式被視為是瞭解難以捉摸的紊流現象的第一步，克雷數學研究所 在2000年5月提供了美金一百萬的獎金給第一個提供紊流現象相關資訊的人，而不是給第一個創建紊流理論的人。基於上述的想法，克雷數學研究所設定了以下具體的數學問題[ 1]
證明或反證以下的敘述：
在三維的空間及時間下，給定一啟始的速度場，存在一向量的速度場及純量的壓強場，為納維－斯托克斯方程式的解，其中速度場及壓強場需滿足
光滑 及全局定義的特性。
以數學的觀點來看，納維－斯托克斯方程式是一個針對任意維度向量場的非線性偏微分方程式 。在物理及工程的觀點，納維－斯托克斯方程式是一個用連續介質力學 描述液體或非稀疏氣體運動的方程式組。此方程式是以牛頓第二運動定律 為基礎，考慮一黏滯性 牛頓流體 的所有受力，包括壓強、黏滯力及外界的體積力。
由於克雷數學研究所提出的問題是以三維空間下，不可壓縮的勻質流體為準，以下也只考慮此條件下的納維－斯托克斯方程式。
令
v
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)}
p
(
x
,
t
)
{\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}
[ note 1]
∂
v
∂
t
+
(
v
⋅
∇
)
v
=
−
∇
p
+
ν
Δ
v
+
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)}
其中
ν
>
0
{\displaystyle \nu >0}
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)}
∇
{\displaystyle \nabla }
梯度 運算子
Δ
{\displaystyle \displaystyle \Delta }
拉普拉斯算子 ，也可寫為
∇
⋅
∇
{\displaystyle \nabla \cdot \nabla }
上述方程式是向量方程式，可以分解為三個純量的方程式，將速度及外力分解為三個座標下的分量：
v
(
x
,
t
)
=
(
v
1
(
x
,
t
)
,
v
2
(
x
,
t
)
,
v
3
(
x
,
t
)
)
,
f
(
x
,
t
)
=
(
f
1
(
x
,
t
)
,
f
2
(
x
,
t
)
,
f
3
(
x
,
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,v_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}\,,\qquad \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,f_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}}
則納維－斯托克斯方程式可寫成以下的形式，
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle i=1,2,3}
∂
v
i
∂
t
+
∑
j
=
1
3
v
j
∂
v
i
∂
x
j
=
−
∂
p
∂
x
i
+
ν
∑
j
=
1
3
∂
2
v
i
∂
x
j
2
+
f
i
(
x
,
t
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\boldsymbol {x}},t).}
其中的未知數有速度
v
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)}
p
(
x
,
t
)
{\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}
不可壓縮性 的連續性方程式 ：
∇
⋅
v
=
0.
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0.}
由於最後一個方程式，納維－斯托克斯方程式解的速度會是無散度 的向量函數。對於在均勻介質中的無散度流，其密度及動黏滯度為定值。
初始條件
v
0
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}
光滑 及無散度的函數，使得對於每一個多重指標
α
{\displaystyle \alpha }
K
>
0
{\displaystyle K>0}
C
=
C
(
α
,
K
)
>
0
{\displaystyle C=C(\alpha ,K)>0}
α
{\displaystyle \alpha }
K 而變化）使得
|
∂
α
v
0
(
x
)
|
≤
C
(
1
+
|
x
|
)
K
{\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {v_{0}} (x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert )^{K}}}\qquad }
x
∈
R
3
.
{\displaystyle \qquad x\in \mathbb {R} ^{3}.}
外力
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}
|
∂
α
f
(
x
)
|
≤
C
(
1
+
|
x
|
+
t
)
K
{\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {f} (x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert +t)^{K}}}\qquad }
(
x
,
t
)
∈
R
3
×
[
0
,
∞
)
.
{\displaystyle \qquad (x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}
考慮其實際的物理意義，此條件下的解需是光滑函數，當
|
x
|
→
∞
{\displaystyle \vert x\vert \to \infty }
v
(
x
,
t
)
∈
[
C
∞
(
R
3
×
[
0
,
∞
)
)
]
3
,
p
(
x
,
t
)
∈
C
∞
(
R
3
×
[
0
,
∞
)
)
{\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))}
存在一常數
E
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle E\in (0,\infty )}
∫
R
3
|
v
(
x
,
t
)
|
2
d
x
<
E
{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}dx<E}
t
≥
0
.
{\displaystyle t\geq 0\,.}
條件1表示此函數為光滑、全局定義的函數，條件2表示此解的動能 在全局中有上下界。
(A) 在
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
令
f
(
x
,
t
)
≡
0
{\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0}
v
0
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}
v
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}
p
(
x
,
t
)
{\displaystyle p(x,t)}
(B)
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
存在一初始條件
v
0
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}
此處的函數需滿足對於位置變數的週期性，其週期為1。更精準地說，令
e
i
{\displaystyle e_{i}}
j 方向的單位向量：
e
1
=
(
1
,
0
,
0
)
,
e
2
=
(
0
,
1
,
0
)
,
e
3
=
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle e_{1}=(1,0,0)\,,\qquad e_{2}=(0,1,0)\,,\qquad e_{3}=(0,0,1)}
則
v
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle i=1,2,3}
v
(
x
+
e
i
,
t
)
=
v
(
x
,
t
)
for all
(
x
,
t
)
∈
R
3
×
[
0
,
∞
)
.
{\displaystyle \mathbf {v} (x+e_{i},t)=\mathbf {v} (x,t){\text{ for all }}(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}
因此方程式不是在整個空間，而是在一商空間
R
3
/
Z
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}}
T
3
=
{
(
θ
1
,
θ
2
,
θ
3
)
:
0
≤
θ
i
<
2
π
,
i
=
1
,
2
,
3
}
.
{\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\{(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}):0\leq \theta _{i}<2\pi \,,\quad i=1,2,3\}.}
有上述的說明後，可以說明需要的假設。初始條件
v
0
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}
3.
v
(
x
,
t
)
∈
[
C
∞
(
T
3
×
[
0
,
∞
)
)
]
3
,
p
(
x
,
t
)
∈
C
∞
(
T
3
×
[
0
,
∞
)
)
{\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))}
4. 存在一常數
E
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle E\in (0,\infty )}
∫
T
3
|
v
(
x
,
t
)
|
2
d
x
<
E
{\displaystyle \int _{\mathbb {T} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}dx<E}
t
≥
0
.
{\displaystyle t\geq 0\,.}
和之前的條件類似，條件3表示函數是光滑及全局定義，條件4表示此解的動能 在全局中有上下界。
(C)
T
3
{\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}
令
f
(
x
,
t
)
≡
0
{\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0}
v
0
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}
v
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}
p
(
x
,
t
)
{\displaystyle p(x,t)}
(D)
T
3
{\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}
存在一初始條件
v
0
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}
二維空間下的納維-斯托克斯問題已在1960年代得證：存在光滑及全局定義解的解[ 2]
在初速
v
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}
[ 1]
若給定一初速
v
0
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}
v
0
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}
T ，使得在
R
3
×
(
0
,
T
)
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times (0,T)}
T 後，是否仍存在平滑的解[ 1]
數學家讓·勒雷 在1934年時證明了所謂納維-斯托克斯問題弱解 的存在，此解在平均值上滿足納維-斯托克斯問題，但無法在每一點上滿足[ 3]
^ 更精準地說，
p
(
x
,
t
)
{\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}
^ 1.0 1.1 1.2 Official statement of the problem （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）, Clay Mathematics Institute.^ Ladyzhenskaya, O., The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flows 2nd, New York: Gordon and Breach, 1969 ^ Leray, J. , Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace, Acta Mathematica, 1934, 63 : 193–248, doi:10.1007/BF02547354
![{\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99a2fe879ed2762701e5dcbeba2ea2400f8110b3)
![{\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b9ba795ec2787fc1eb7282dc8fe04a582423ec8)
