纳维-斯托克斯存在性与光滑性 （英语：Navier–Stokes existence and smoothness 纳维－斯托克斯方程 （英语：Navier-Stokes equations 、法语：Équations de Navier-Stokes ）其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所 在2000年提出的7个千禧年大奖难题 中的一个问题。
平面激光诱导荧光 纳维－斯托克斯方程式是流体力学 的重要方程式，可以描述空间中流体 （液体 或气体 ）的运动。纳维－斯托克斯方程式的解可以用到许多实务应用的领域中。不过对于纳维－斯托克斯方程式解的理论研究仍然不足，尤其纳维－斯托克斯方程式的解常会包括紊流 。虽然紊流在科学及工程中非常的重要，不过紊流仍是未解决的物理学问题 之一。
许多纳维－斯托克斯方程式解的基本性质都尚未被证明。例如数学家就尚未证明在三维座标，特定的初始条件下，纳维－斯托克斯方程式是否有符合光滑性的解。也尚未证明若这样的解存在时，其动能 有其上下界，这就是“纳维-斯托克斯存在性与光滑性”问题。
由于了解纳维－斯托克斯方程式被视为是了解难以捉摸的紊流现象的第一步，克雷数学研究所 在2000年5月提供了美金一百万的奖金给第一个提供紊流现象相关资讯的人，而不是给第一个创建紊流理论的人。基于上述的想法，克雷数学研究所设定了以下具体的数学问题[ 1]
证明或反证以下的叙述：
在三维的空间及时间下，给定一启始的速度场，存在一向量的速度场及纯量的压强场，为纳维－斯托克斯方程式的解，其中速度场及压强场需满足
光滑 及全局定义的特性。
以数学的观点来看，纳维－斯托克斯方程是一个针对任意维度向量场的非线性偏微分方程 。在物理及工程的观点，纳维－斯托克斯方程是一个用连续介质力学 描述液体或非稀疏气体运动的方程式组。此方程式是以牛顿第二运动定律 为基础，考虑一黏滞性 牛顿流体 的所有受力，包括压强、黏滞力及外界的体积力。
由于克雷数学研究所提出的问题是以三维空间下，不可压缩的匀质流体为准，以下也只考虑此条件下的纳维－斯托克斯方程。
令
v
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)}
p
(
x
,
t
)
{\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}
[ note 1]
∂
v
∂
t
+
(
v
⋅
∇
)
v
=
−
∇
p
+
ν
Δ
v
+
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)}
其中
ν
>
0
{\displaystyle \nu >0}
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)}
∇
{\displaystyle \nabla }
梯度 运算子
Δ
{\displaystyle \displaystyle \Delta }
拉普拉斯算子 ，也可写为
∇
⋅
∇
{\displaystyle \nabla \cdot \nabla }
上述方程是向量方程，可以分解为三个纯量的方程，将速度及外力分解为三个座标下的分量：
v
(
x
,
t
)
=
(
v
1
(
x
,
t
)
,
v
2
(
x
,
t
)
,
v
3
(
x
,
t
)
)
,
f
(
x
,
t
)
=
(
f
1
(
x
,
t
)
,
f
2
(
x
,
t
)
,
f
3
(
x
,
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,v_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}\,,\qquad \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,f_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}}
则纳维－斯托克斯方程可写成以下的形式，
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle i=1,2,3}
∂
v
i
∂
t
+
∑
j
=
1
3
v
j
∂
v
i
∂
x
j
=
−
∂
p
∂
x
i
+
ν
∑
j
=
1
3
∂
2
v
i
∂
x
j
2
+
f
i
(
x
,
t
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\boldsymbol {x}},t).}
其中的未知数有速度
v
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)}
p
(
x
,
t
)
{\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}
不可压缩性 的连续性方程式 ：
∇
⋅
v
=
0.
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0.}
由于最后一个方程式，纳维－斯托克斯方程解的速度会是无散度 的向量函数。对于在均匀介质中的无散度流，其密度及动黏滞度为定值。
初始条件
v
0
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}
光滑 及无散度的函数，使得对于每一个多重指标
α
{\displaystyle \alpha }
K
>
0
{\displaystyle K>0}
C
=
C
(
α
,
K
)
>
0
{\displaystyle C=C(\alpha ,K)>0}
α
{\displaystyle \alpha }
K 而变化）使得
|
∂
α
v
0
(
x
)
|
≤
C
(
1
+
|
x
|
)
K
{\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {v_{0}} (x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert )^{K}}}\qquad }
x
∈
R
3
.
{\displaystyle \qquad x\in \mathbb {R} ^{3}.}
外力
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}
|
∂
α
f
(
x
)
|
≤
C
(
1
+
|
x
|
+
t
)
K
{\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {f} (x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert +t)^{K}}}\qquad }
(
x
,
t
)
∈
R
3
×
[
0
,
∞
)
.
{\displaystyle \qquad (x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}
考虑其实际的物理意义，此条件下的解需是光滑函数，当
|
x
|
→
∞
{\displaystyle \vert x\vert \to \infty }
v
(
x
,
t
)
∈
[
C
∞
(
R
3
×
[
0
,
∞
)
)
]
3
,
p
(
x
,
t
)
∈
C
∞
(
R
3
×
[
0
,
∞
)
)
{\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))}
存在一常数
E
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle E\in (0,\infty )}
∫
R
3
|
v
(
x
,
t
)
|
2
d
x
<
E
{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}dx<E}
t
≥
0
.
{\displaystyle t\geq 0\,.}
条件1表示此函数为光滑、全局定义的函数，条件2表示此解的动能 在全局中有上下界。
(A) 在
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
令
f
(
x
,
t
)
≡
0
{\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0}
v
0
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}
v
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}
p
(
x
,
t
)
{\displaystyle p(x,t)}
(B)
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
存在一初始条件
v
0
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}
此处的函数需满足对于位置变数的周期性，其周期为1。更精准地说，令
e
i
{\displaystyle e_{i}}
j 方向的单位向量：
e
1
=
(
1
,
0
,
0
)
,
e
2
=
(
0
,
1
,
0
)
,
e
3
=
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle e_{1}=(1,0,0)\,,\qquad e_{2}=(0,1,0)\,,\qquad e_{3}=(0,0,1)}
则
v
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle i=1,2,3}
v
(
x
+
e
i
,
t
)
=
v
(
x
,
t
)
for all
(
x
,
t
)
∈
R
3
×
[
0
,
∞
)
.
{\displaystyle \mathbf {v} (x+e_{i},t)=\mathbf {v} (x,t){\text{ for all }}(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}
因此方程式不是在整个空间，而是在一商空间
R
3
/
Z
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}}
T
3
=
{
(
θ
1
,
θ
2
,
θ
3
)
:
0
≤
θ
i
<
2
π
,
i
=
1
,
2
,
3
}
.
{\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\{(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}):0\leq \theta _{i}<2\pi \,,\quad i=1,2,3\}.}
有上述的说明后，可以说明需要的假设。初始条件
v
0
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}
3.
v
(
x
,
t
)
∈
[
C
∞
(
T
3
×
[
0
,
∞
)
)
]
3
,
p
(
x
,
t
)
∈
C
∞
(
T
3
×
[
0
,
∞
)
)
{\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))}
4. 存在一常数
E
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle E\in (0,\infty )}
∫
T
3
|
v
(
x
,
t
)
|
2
d
x
<
E
{\displaystyle \int _{\mathbb {T} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}dx<E}
t
≥
0
.
{\displaystyle t\geq 0\,.}
和之前的条件类似，条件3表示函数是光滑及全局定义，条件4表示此解的动能 在全局中有上下界。
(C)
T
3
{\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}
令
f
(
x
,
t
)
≡
0
{\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0}
v
0
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}
v
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}
p
(
x
,
t
)
{\displaystyle p(x,t)}
(D)
T
3
{\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}
存在一初始条件
v
0
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}
二维空间下的纳维-斯托克斯问题已在1960年代得证：存在光滑及全局定义解的解[ 2]
在初速
v
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}
[ 1]
若给定一初速
v
0
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}
v
0
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}
T ，使得在
R
3
×
(
0
,
T
)
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times (0,T)}
T 后，是否仍存在平滑的解[ 1]
数学家让·勒雷 在1934年时证明了所谓纳维-斯托克斯问题弱解 的存在，此解在平均值上满足纳维-斯托克斯问题，但无法在每一点上满足[ 3]
^ 更精准地说，
p
(
x
,
t
)
{\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}
^ 1.0 1.1 1.2 Official statement of the problem （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）, Clay Mathematics Institute.^ Ladyzhenskaya, O., The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flows 2nd, New York: Gordon and Breach, 1969 ^ Leray, J. , Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace, Acta Mathematica, 1934, 63 : 193–248, doi:10.1007/BF02547354
![{\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99a2fe879ed2762701e5dcbeba2ea2400f8110b3)
![{\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b9ba795ec2787fc1eb7282dc8fe04a582423ec8)
