平面幾何中,歐拉線,或稱尤拉線(圖中的紅線)是指過三角形垂心(藍)、外心(綠)、重心(黃)和九點圓圓心(紅點)的一條直線萊昂哈德·歐拉也稱尤拉證明了在任意三角形中,以上四點共線。歐拉線上的四點中,九點圓圓心到垂心和外心的距離相等,而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。注意內心一般不在歐拉線上,除了等腰三角形外。

歐拉線
歐拉線

證明

 

如圖 分別是 的垂心,重心,外心。

 為直線  外接圓的交點,並連結 

(1)  是直徑,  

 是垂心,  

  

 為平行四邊形。

-> 

 分別是 的中點,

  

(2) 作 邊上的中線 連結 

  於點 

 

 

  的重心 

 的垂心 重心 外心 三點共線 直線 即歐拉線

推論

九點圓的圓心也在歐拉線上,且在垂心到外心的線段的中點

 

如圖,H、G、Ω分別是△ABC的垂心、重心、外心,三角形的三邊中點I i,三高的垂足Hi,和頂點到垂心的三條線段的中點J i

令HΩ和J1I1的交點為K,∵BΩ=CΩ,BI1=CI1,∴ΩI1⊥BC,又∵AH1⊥BC,∴ΩI1∥AH1

∵∠GΩI1=∠AHG,∠GAH=∠GI1Ω,∴△AGH∽△GΩI1。∵AG=2GI1,∴AH=2ΩI1,即ΩI1=J1H。

∵ΩI1∥AH1, J1H=ΩI1 ∴J1K=KI1, HK = KΩ。

同理J2K=KI2, J3K=KI3。 可知K為九點圓圓心。

∵點K在HΩ上,HK = KΩ

∴九點圓圓心在歐拉線上,且在垂心到外心的線段的中點。

參考資料

  1. 数学题解辞典·平面几何. 上海辭書出版社. 

外部連結