如圖 分別是 的垂心,重心,外心。
設 為直線 和 外接圓的交點,並連結 。
(1)
是直徑, 且 。
又 是垂心, 且 。
, 。
為平行四邊形。
->
又 分別是 的中點,
,
(2)
作 邊上的中線 連結
設 交 於點
,
,
即 的重心
的垂心 重心 外心 三點共線 直線 即歐拉線
九點圓的圓心也在歐拉線上,且在垂心到外心的線段的中點
如圖,H、G、Ω分別是△ABC的垂心、重心、外心,三角形的三邊中點I i,三高的垂足Hi,和頂點到垂心的三條線段的中點J i
令HΩ和J1I1的交點為K,∵BΩ=CΩ,BI1=CI1,∴ΩI1⊥BC,又∵AH1⊥BC,∴ΩI1∥AH1。
∵∠GΩI1=∠AHG,∠GAH=∠GI1Ω,∴△AGH∽△GΩI1。∵AG=2GI1,∴AH=2ΩI1,即ΩI1=J1H。
∵ΩI1∥AH1, J1H=ΩI1 ∴J1K=KI1, HK = KΩ。
同理J2K=KI2, J3K=KI3。 可知K為九點圓圓心。
∵點K在HΩ上,HK = KΩ
∴九點圓圓心在歐拉線上,且在垂心到外心的線段的中點。