曲線

曲（ㄑㄩ）線（英語：curve，舊稱curved line）是平滑彎曲的線段或線條，相對於直線；曲線也指動點（moving point）在空間中運動方向連續變化的軌跡。

在現代數學中，曲線的定義是連續函數在拓撲空間上區間的圖像。

歷史

• 若爾當曲線定理
• 變分法（最速降線問題、等時降線）
• 希爾伯特第十六問題
• 皮亞諾曲線和其他Space-filling curve
• 卷繞數

定義

在數學上，一條曲線的定義為：

設$I=[a,b]$為一實數區間，即實數集的非空子集，那麼曲線$c$就是一個連續函數$c:I\rightarrow X$的映射，其中$X$為一個拓撲空間。

我們常遇到的平面曲線的拓撲空間為$\mathbb {R} ^{2}$。

若f是單射的，則 c是簡單曲線（simple curve）。

若$I=[a,b]$和$f(a)=f(b)$，f是閉曲線（closed curve）或環圈。

曲線方程

參見：參數方程

一般來說，當在$\mathbb {R} ^{n}$下一些符合一條方程的點的集合組成一條曲線時，那方程就叫那曲線的曲線方程（curvilinear equation，curve equation）。

例如，$x^{2}+y^{2}=1$是單位圓的曲線方程，因為有且僅有單位圓上的點符合這條方程；因這些點組成一個單位圓，故該方程正代表著平面上的單位圓。

曲線長度

參見：弧長

若$\gamma (t):[a,b]\to X\subset R^{n}$，則其長度是

$$L(\gamma )=\int _{a}^{b}\left|\gamma '(t)\right|\mathrm {d} t$$

平面曲線

例如，若一條平面曲線可表達成標準方程$y=f(x)$，那麼它的長度就是：

$$\int _{a}^{b}{{\sqrt {\left[f'\left(x\right)\right]^{2}+1}}\;{\rm {d}}x}$$

其中$a\,$、$b\,$為$x\,$的上下限。

若平面曲線可表達成參數方程$x(t),y(t)$，那麼它的長度就是：

$$\int _{\alpha }^{\beta }{{\sqrt {\left({x'}\right)^{2}+\left({y'}\right)^{2}}}{\rm {d}}t}$$

其中$\alpha \,$、$\beta \,$為$t\,$的上下限。

外部連結

• （英文）MacTutor著名曲線列圖 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）