曲线

曲（qū）线（英语：curve，旧称curved line）是平滑弯曲的线段或线条，相对于直线；曲线也指动点（moving point）在空间中运动方向连续变化的轨迹。

在现代数学中，曲线的定义是连续函数在拓扑空间上区间的图像。

历史

• 若尔当曲线定理
• 变分法（最速降线问题、等时降线）
• 希尔伯特第十六问题
• 皮亚诺曲线和其他Space-filling curve
• 卷绕数

定义

在数学上，一条曲线的定义为：

设$I=[a,b]$为一实数区间，即实数集的非空子集，那么曲线$c$就是一个连续函数$c:I\rightarrow X$的映射，其中$X$为一个拓扑空间。

我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为$\mathbb {R} ^{2}$。

若f是单射的，则 c是简单曲线（simple curve）。

若$I=[a,b]$和$f(a)=f(b)$，f是闭曲线（closed curve）或环圈。

曲线方程

参见：参数方程

一般来说，当在$\mathbb {R} ^{n}$下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时，那方程就叫那曲线的曲线方程（curvilinear equation，curve equation）。

例如，$x^{2}+y^{2}=1$是单位圆的曲线方程，因为有且仅有单位圆上的点符合这条方程；因这些点组成一个单位圆，故该方程正代表着平面上的单位圆。

曲线长度

参见：弧长

若$\gamma (t):[a,b]\to X\subset R^{n}$，则其长度是

$$L(\gamma )=\int _{a}^{b}\left|\gamma '(t)\right|\mathrm {d} t$$

平面曲线

例如，若一条平面曲线可表达成标准方程$y=f(x)$，那么它的长度就是：

$$\int _{a}^{b}{{\sqrt {\left[f'\left(x\right)\right]^{2}+1}}\;{\rm {d}}x}$$

其中$a\,$、$b\,$为$x\,$的上下限。

若平面曲线可表达成参数方程$x(t),y(t)$，那么它的长度就是：

$$\int _{\alpha }^{\beta }{{\sqrt {\left({x'}\right)^{2}+\left({y'}\right)^{2}}}{\rm {d}}t}$$

其中$\alpha \,$、$\beta \,$为$t\,$的上下限。

外部链接

• （英文）MacTutor著名曲线列图 （页面存档备份，存于互联网档案馆）