峰度

峰度（英語：Kurtosis），亦稱尖度，在統計學中衡量實數隨機變數機率分布的峰態。峰度高就意味著變異數增大是由低頻度的大於或小於平均值的極端差值引起的。

遠紅光對小麥胚芽鞘向地反應的平均速度沒有影響，但是峰度由低峰態轉變成了尖峰態 (−0.194 → 0.055)

定義

母體峰態係數定義為：

${\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}},\!$

即四階標準動差，其中$\mu _{4}$是四階主動差，$\sigma$是標準差。

在更通常的情況下，峰度被定義為四階累積量除以二階累積量的平方，它等於四階主動差除以機率分布變異數的平方再減去3：

$\gamma _{2}={\frac {\kappa _{4}}{\kappa _{2}^{2}}}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3$

這也被稱為超值峰度（excess kurtosis）。「減3」是為了讓常態分布的峰度為0。

假定$Y$為$n$個獨立變量之和，且這些變量和$X$具有相同的分布，那麽：$\mathrm {Kurt} [Y]={\frac {\mathrm {Kurt} [X]}{n}}$， 但如果峰度被定義為：${\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}$，公式可變得更加複雜。

更一般地說，假定$X_{1},\ldots ,X_{n}$為變異數相等的獨立隨機變數，那麼：

$\operatorname {Kurt} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={1 \over n^{2}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Kurt} (X_{i}),$

而定義中如果不包含「減3」就無法成立。

如果超值峰度為正，稱為高狹峰（leptokurtic）。如果超值峰度為負，稱為低闊峰（platykurtic）。

樣本峰度

對於具有$n$個值的樣本，樣本峰度為：

$g_{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{4}}{\left({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)^{2}}}-3$

其中$m_{4}$是四階樣本主動差，$m_{2}$是二階主動差（即使樣本變異數），$x_{i}$是第$i^{th}$個值，${\overline {x}}$是樣本平均值。注意此處計算變異數的時候除數是$N$，而不是單獨計算樣本變異數的$(N-1)$。

有時候也使用公式：

$D={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}$,

$E={1 \over nD^{2}}\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}-3$

其中，$n$為樣本大小，$D$為事先計算的變異數，$x_{i}$為第$i$個測量值，${\bar {x}}$為事先計算的算術平均數。

在一些統計軟體中，其公式有所差別。如EXCEL，計算樣本的峰度公式如下：

${\text{Kurtosis}}={n(n+1) \over (n-1)(n-2)(n-3)}\sum _{i=1}^{n}({x_{i}-{\bar {x}} \over {\text{StDev}}})^{4}-{3(n-1)^{2} \over (n-2)(n-3)}$

參見

• 偏度
• 主動差

參考資料

• Joanes, D. N. & Gill, C. A. (1998) Comparing measures of sample skewness and kurtosis. Journal of the Royal Statistical Society (Series D): The Statistician 47 (1), 183–189. doi:10.1111/1467-9884.00122
• Are the Skewness and Kurtosis Useful Statistics? （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）