四分之一音差中全律

四分之一音差中全律或稱四分之一音差中庸全音律，是中庸全音律的一種，應用於巴洛克時代前後。

為了確保大三度的和諧，把純五度音程略微縮小，並且把大全音（8/9）和小全音（9/10）折中了。

原理

先來看看十七度音程，比如D4到F6#的音程有兩種算法。

• 4個純五度相加(即D4-A4-E5-B5-F6#)，或者
• 2個八度加大三度(即D4-D5-D6-F6#)

十七度在五度相生律使用四個純正的五度(3/2)相加的方法，即

$\left({3 \over 2}\right)^{4}={81 \over 16}={80 \over 16}\cdot {81 \over 80}=5\cdot {81 \over 80}$

而純律使用純正大三度(5/4)加兩個八度的方法：

$2\cdot {2 \over 1}\cdot {5 \over 4}=5$

也就是說五度相生律的大三度是81/64，比純律大81/80，並不純正。兩者的差叫普通音差，約21.506音分。

$1200\lg {81 \over 80}\ {\hbox{cents}}\approx 21.506\ {\hbox{cents}}$

純律十七度的頻率比(5/1)，不等於純五度頻率比(3/2)的四次方。所以把1/4普通音差從純五度減去，形成四分之一音差中全律。

設五度頻率比為x，則其四次方為5。

$x^{4}=5\$

所以這種五度的頻率比是

$x={\sqrt[{4}]{5}}=5^{1/4}$

這便是四分之一音差中全律的五度，約696.578音分。

$5^{1/4}\approx 1.495349=1200\lg 5^{1/4}\ {\hbox{cents}}\approx 696.578\ {\hbox{cents}}$

它比純正的五度稍小。

$3/2=1.5=1200\lg {3 \over 2}\ {\hbox{cents}}\approx 701.955\ {\hbox{cents}}$

兩者的差是1/4普通音差。

$\approx 701.955-696.578\approx 5.377\approx {21.506 \over 4}\ {\hbox{cents}}$

半音階的十二個音，可由五度乘除得來。除了音高，與五度相生律性質完全相同。

下表以D為起點算出每個音，列出從D開始的音程以及頻率比和音分。算式的$x={\sqrt[{4}]{5}}=5^{1/4}$是五度，以此類推。

音名	從D開始的音程	計算式	比率	音分
A♭	減五度	$x^{-6}\cdot 2^{4}={\frac {16{\sqrt {5}}}{25}}$	1.4311	620.5
E♭	小二度	$x^{-5}\cdot 2^{3}={\frac {8{\sqrt {5}}x}{25}}$	1.0700	117.1
B♭	小六度	$x^{-4}\cdot 2^{3}={\frac {8}{5}}$	1.6000	813.7
F	小三度	$x^{-3}\cdot 2^{2}={\frac {4x}{5}}$	1.1963	310.3
C	小七度	$x^{-2}\cdot 2^{2}={\frac {4{\sqrt {5}}}{5}}$	1.7889	1006.8
G	純四度	$x^{-1}\cdot 2^{1}={\frac {2{\sqrt {5}}x}{5}}$	1.3375	503.4
D	一度	$x^{0}\cdot 2^{0}=1$	1.0000	0.0
A	純五度	$x^{1}\cdot 2^{0}=x$	1.4953	696.6
E	大二度	$x^{2}\cdot 2^{-1}={\frac {\sqrt {5}}{2}}$	1.1180	193.2
B	大六度	$x^{3}\cdot 2^{-1}={\frac {{\sqrt {5}}x}{2}}$	1.6719	889.7
F♯	大三度	$x^{4}\cdot 2^{-2}={\frac {5}{4}}$	1.2500	386.3
C♯	大七度	$x^{5}\cdot 2^{-2}={\frac {5x}{4}}$	1.8692	1082.9
G♯	增四度	$x^{6}\cdot 2^{-3}={\frac {5{\sqrt {5}}}{8}}$	1.3975	579.5

與五度相生律相同，這裡的A♭和G#不一樣。在半音階中，一般省略A♭。（但也有省略G#的）這裡G♯到E♭的「五度」音程比純正的五度還要大。抱恨這個五度的和弦會發生顕著的不和諧（像狼叫一樣），稱為狼音(Wolf interval)。而且，包含狼音五度的4個五度組合出來的十七度（大三度）也很不和諧。所以限制了調的選擇。使用四分之一音差中全律的樂曲一般調號在三個#或兩個♭之間。

四分之一音差中全律與平均律、五度相生律

從D開始的音程音分值。音程名是英語簡寫（例：五度→P5）。一般銀用粗體，狼音是紅色背景。

此音律同樣的半音數目有兩種音程。可參見右表。

四分之一音差中全律的11個純五度比純正的純五度少1/4普通音差，約696.6音分。 剩下一個約737.6音分的音程（狼音五度）。它是異名同音的音程，正確說法是減六度。它們的平均値是700音分，即平均律的五度。

• 9個小三度約310.3音分，其他3個是增二度約269.2音分，平均値300音分。
• 8個大三度約386.3音分，其他4個是減四度で約427.4音分，平均値400音分。
• 7個自然半音(小二度)約117.1音分，其他4個是變化半音(增一度)約76.0音分，平均値100音分。

可以看出，四分之一音差中全律的音程大小關係和五度相生律是反著的。

調音法

這是四分之一音差中全律在鍵盤樂器上的調音法（可參考給巴洛克樂團）（C為基準）。

• 確定C和E之間的G、D、A
  • 用音叉定小字一組的C。
  • C上的E調整到無拍音（即純律大三度）。
  • C下的F、降B暫按五度相生律確定。
  • E上的B、升F暫從E按純正五度確定。
  • 暫定的降B和升F中間按不和諧感最小的方法確定D。（角平分線）
  • D和C之間同樣按不和諧感最小的方法確定G。（角平分線）
  • D和E之間再按這種方法確定A。

於是四分之一音差中全律的五度確定完成。

• 從五度和大三度定律
  • 按純律大三度從G下得降E，上得B。
  • 再按純律大三度從D下得降B、上得升F。
  • 再按純律大三度從A下得F，上得升C。
  • 再按純律大三度從C上得升G。

• 最後一步
  • 把這十二個音擴展到別的八度。

相關條目

• 音律
  • 五度相生律
  • 純律
  • 法國普通律
  • Well Temperament
  • 平均律