四分之一音差中全律

四分之一音差中全律或称四分之一音差中庸全音律，是中庸全音律的一种，应用于巴洛克时代前后。

为了确保大三度的和谐，把纯五度音程略微缩小，并且把大全音（8/9）和小全音（9/10）折中了。

原理

先来看看十七度音程，比如D4到F6#的音程有两种算法。

• 4个纯五度相加(即D4-A4-E5-B5-F6#)，或者
• 2个八度加大三度(即D4-D5-D6-F6#)

十七度在五度相生律使用四个纯正的五度(3/2)相加的方法，即

$\left({3 \over 2}\right)^{4}={81 \over 16}={80 \over 16}\cdot {81 \over 80}=5\cdot {81 \over 80}$

而纯律使用纯正大三度(5/4)加两个八度的方法：

$2\cdot {2 \over 1}\cdot {5 \over 4}=5$

也就是说五度相生律的大三度是81/64，比纯律大81/80，并不纯正。两者的差叫普通音差，约21.506音分。

$1200\lg {81 \over 80}\ {\hbox{cents}}\approx 21.506\ {\hbox{cents}}$

纯律十七度的频率比(5/1)，不等于纯五度频率比(3/2)的四次方。所以把1/4普通音差从纯五度减去，形成四分之一音差中全律。

设五度频率比为x，则其四次方为5。

$x^{4}=5\$

所以这种五度的频率比是

$x={\sqrt[{4}]{5}}=5^{1/4}$

这便是四分之一音差中全律的五度，约696.578音分。

$5^{1/4}\approx 1.495349=1200\lg 5^{1/4}\ {\hbox{cents}}\approx 696.578\ {\hbox{cents}}$

它比纯正的五度稍小。

$3/2=1.5=1200\lg {3 \over 2}\ {\hbox{cents}}\approx 701.955\ {\hbox{cents}}$

两者的差是1/4普通音差。

$\approx 701.955-696.578\approx 5.377\approx {21.506 \over 4}\ {\hbox{cents}}$

半音阶的十二个音，可由五度乘除得来。除了音高，与五度相生律性质完全相同。

下表以D为起点算出每个音，列出从D开始的音程以及频率比和音分。算式的$x={\sqrt[{4}]{5}}=5^{1/4}$是五度，以此类推。

音名	从D开始的音程	计算式	比率	音分
A♭	减五度	$x^{-6}\cdot 2^{4}={\frac {16{\sqrt {5}}}{25}}$	1.4311	620.5
E♭	小二度	$x^{-5}\cdot 2^{3}={\frac {8{\sqrt {5}}x}{25}}$	1.0700	117.1
B♭	小六度	$x^{-4}\cdot 2^{3}={\frac {8}{5}}$	1.6000	813.7
F	小三度	$x^{-3}\cdot 2^{2}={\frac {4x}{5}}$	1.1963	310.3
C	小七度	$x^{-2}\cdot 2^{2}={\frac {4{\sqrt {5}}}{5}}$	1.7889	1006.8
G	纯四度	$x^{-1}\cdot 2^{1}={\frac {2{\sqrt {5}}x}{5}}$	1.3375	503.4
D	一度	$x^{0}\cdot 2^{0}=1$	1.0000	0.0
A	纯五度	$x^{1}\cdot 2^{0}=x$	1.4953	696.6
E	大二度	$x^{2}\cdot 2^{-1}={\frac {\sqrt {5}}{2}}$	1.1180	193.2
B	大六度	$x^{3}\cdot 2^{-1}={\frac {{\sqrt {5}}x}{2}}$	1.6719	889.7
F♯	大三度	$x^{4}\cdot 2^{-2}={\frac {5}{4}}$	1.2500	386.3
C♯	大七度	$x^{5}\cdot 2^{-2}={\frac {5x}{4}}$	1.8692	1082.9
G♯	增四度	$x^{6}\cdot 2^{-3}={\frac {5{\sqrt {5}}}{8}}$	1.3975	579.5

与五度相生律相同，这里的A♭和G#不一样。在半音阶中，一般省略A♭。（但也有省略G#的）这里G♯到E♭的“五度”音程比纯正的五度还要大。抱恨这个五度的和弦会发生顕著的不和谐（像狼叫一样），称为狼音(Wolf interval)。而且，包含狼音五度的4个五度组合出来的十七度（大三度）也很不和谐。所以限制了调的选择。使用四分之一音差中全律的乐曲一般调号在三个#或两个♭之间。

四分之一音差中全律与平均律、五度相生律

从D开始的音程音分值。音程名是英语简写（例：五度→P5）。一般银用粗体，狼音是红色背景。

此音律同样的半音数目有两种音程。可参见右表。

四分之一音差中全律的11个纯五度比纯正的纯五度少1/4普通音差，约696.6音分。 剩下一个约737.6音分的音程（狼音五度）。它是异名同音的音程，正确说法是减六度。它们的平均値是700音分，即平均律的五度。

• 9个小三度约310.3音分，其他3个是增二度约269.2音分，平均値300音分。
• 8个大三度约386.3音分，其他4个是减四度で约427.4音分，平均値400音分。
• 7个自然半音(小二度)约117.1音分，其他4个是变化半音(增一度)约76.0音分，平均値100音分。

可以看出，四分之一音差中全律的音程大小关系和五度相生律是反着的。

调音法

这是四分之一音差中全律在键盘乐器上的调音法（可参考给巴洛克乐团）（C为基准）。

• 确定C和E之间的G、D、A
  • 用音叉定小字一组的C。
  • C上的E调整到无拍音（即纯律大三度）。
  • C下的F、降B暂按五度相生律确定。
  • E上的B、升F暂从E按纯正五度确定。
  • 暂定的降B和升F中间按不和谐感最小的方法确定D。（角平分线）
  • D和C之间同样按不和谐感最小的方法确定G。（角平分线）
  • D和E之间再按这种方法确定A。

于是四分之一音差中全律的五度确定完成。

• 从五度和大三度定律
  • 按纯律大三度从G下得降E，上得B。
  • 再按纯律大三度从D下得降B、上得升F。
  • 再按纯律大三度从A下得F，上得升C。
  • 再按纯律大三度从C上得升G。

• 最后一步
  • 把这十二个音扩展到别的八度。

相关条目

• 音律
  • 五度相生律
  • 纯律
  • 法国普通律
  • Well Temperament
  • 平均律