合流超幾何函數

特殊函數中,合流超幾何函數confluent hypergeometric function)定義為合流超幾何方程的解。它是高斯超幾何函數的極限情形,相當於超幾何方程中的兩個正則奇點 1 和 ∞ 合流為一個非正則奇點 ∞,因而得名。

根據所選擇的參變量與宗量的不同,合流超幾何函數有多種標準形式,常見的有:

  • Kummer 函數第一類合流超幾何函數M(a,b,z) 是 Kummer 方程的解。注意有另一個相異且無關的函數也被稱為 Kummer 函數;
  • Tricomi 函數第二類合流超幾何函數U(a,b,z)是 Kummer 方程的另一個線性無關的解,有時會寫成 Ψ(a,b,z);
  • 惠泰克函數 是惠泰克方程的解,惠泰克方程里的參數與 Kummer 方程的參數所對應的李代數參數相關[注 1]

Kummer 方程

根據廣義超幾何函數的性質,超幾何函數 w(z)=1F1(a;b;z) 滿足的微分方程為:

 .

展開後就得到 Kummer 方程[1]

 ,

它在正則奇點 0 附近的一個正則解為 Kummer 函數:

 

式中 (a)(n)升階乘的 Pochhammer 記號。

Kummer 函數是高斯超幾何函數的極限情形[1]

 

高斯超幾何方程在正則奇點 0 附近的另一個正則解為:

 

按照相同的極限過程,可知 Kummer 方程的另一個正則解為(這裡的 b 等同於上式的 c):

 

但是,傳統上並不把這個正則解定義為第二類合流超幾何函數。Tricomi 函數定義為它們的線性組合[2]

 

它與另一個廣義超幾何函數有下列關係[3]

 

但此時上面的超幾何函數對應的級數不收斂,需要通過另外的方式來定義(如積分表達式)。更常見的是下面的表述,它將 2F0 對應的超幾何級數視為漸近級數。

 

Kummer 函數是整函數,而 Tricomi 函數一般有奇點 0。

可轉化為 Kummer 方程的二階線性常微分方程

大部分係數為自變量 z 的一次函數的二階線性常微分方程都可以通過變量代換轉換成 Kummer 方程。對方程

 

先將 A+Bz 用一個新的 z 代換,就可以將二階項前面的係數化為 Kummer 方程的形式:

 

這裡的 C,D,E,F 是作代換後得到的新的值。然後將 z 用 (D2-4F)-1/2z 代換,並將整個式子乘以相同的常數,得到:

 

它的解為,

 

李代數參數與惠泰克方程

Kummer 方程的李代數參數[注 1][3]定義為

 

其中第一個李代數參數是 z=0 處兩個正則解的指標之差。而第二個李代數參數對於 z=0 處的兩個正則解給出相同的值。這時 z=0 處的兩個正則解可以表示為

 

惠泰克方程的形式為:

 

它的兩個線性無關的解為惠泰克函數,與第一類、第二類合流超幾何函數有下列關係[1]

 
 

注意到

 

故惠泰克方程中的參數實際上與 Kummer 方程對應的李代數參數等價,兩者之間只差一個常數倍。

積分表示

合流超幾何函數的很多性質可以通過高斯超幾何函數得到,高斯超幾何函數的積分表示為:

 

式中的 Β 是beta函數

兩邊取極限後就得到(第一類)合流超幾何函數的積分表示[3]

 

第二類合流超幾何函數的積分表示為[3]

 

變換公式

高斯超幾何函數的 Pfaff 變換公式為:

 

兩邊取極限得到(第一類)合流超幾何函數的 Kummer 變換公式[2]

 

第二類合流超幾何函數的 Kummer 變換公式為[2]

 .

特殊情形

很多特殊函數都是合流超幾何函數的特殊情形。

柱函數

第一類、第二類虛宗量貝索函數可以分別表示為[1]

 
 

Γ, 誤差函數

不完全伽瑪函數可以表示為[1]

 
 

誤差函數可以表示為[1]

 

正交多項式及相關函數

拉蓋爾函數可以表示為[1]

 

其中的二項式係數用貝塔函數來定義。

(物理學上的)厄米多項式可以表示為[1]

 

  1. ^ 1.0 1.1 關於李代數參數,詳見超幾何函數

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 吳崇試. 17. 数学物理方法(第二版). 北京大學出版社. [2003]. ISBN 9787301068199. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Daalhuis, Adri B. Olde, 合流超几何函数, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113 . 

外部連結