在特殊函数 中，合流超几何函数 （confluent hypergeometric function ）定义为合流超几何方程的解。它是高斯超几何函数 的极限情形，相当于超几何方程中的两个正则奇点 1 和 ∞ 合流为一个非正则奇点 ∞，因而得名。
根据所选择的参变量与宗量的不同，合流超几何函数有多种标准形式，常见的有：
Kummer 函数 （第一类合流超几何函数 ）M a b z Tricomi 函数 （第二类合流超几何函数 ）U a b z Ψ a b z 惠泰克函数 [ 注 1]
根据广义超几何函数的性质 ，超几何函数 w z 1 F 1 (a b z
z
(
z
d
d
z
+
a
)
w
=
z
d
d
z
(
z
d
d
z
+
b
−
1
)
w
{\displaystyle z\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b-1\right)w}
展开后就得到 Kummer 方程[ 1]
z
d
2
w
d
z
2
+
(
b
−
z
)
d
w
d
z
−
a
w
=
0
{\displaystyle z{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+(b-z){\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}-aw=0}
它在正则奇点 0 附近的一个正则解为 Kummer 函数：
M
(
a
,
b
,
z
)
=
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
=
∑
n
=
0
∞
(
a
)
(
n
)
(
b
)
(
n
)
z
n
n
!
{\displaystyle M(a,b,z)=\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)^{(n)}}{(b)^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}
式中 (a (n 是升阶乘 的 Pochhammer 记号。
Kummer 函数是高斯超几何函数的极限情形[ 1]
1
F
1
(
a
;
c
;
z
)
=
lim
b
→
∞
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
b
)
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)=\lim _{b\rightarrow \infty }\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})}
高斯超几何方程在正则奇点 0 附近的另一个正则解为：
z
1
−
c
2
F
1
(
1
+
a
−
c
,
1
+
b
−
c
;
2
−
c
;
z
)
{\displaystyle z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}
按照相同的极限过程，可知 Kummer 方程的另一个正则解为（这里的 b c
z
1
−
b
1
F
1
(
1
+
a
−
b
;
2
−
b
;
z
)
{\displaystyle z^{1-b}\,_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)}
但是，传统上并不把这个正则解定义为第二类合流超几何函数。Tricomi 函数定义为它们的线性组合[ 2]
U
(
a
,
b
,
z
)
=
Γ
(
1
−
b
)
Γ
(
a
−
b
+
1
)
M
(
a
,
b
,
z
)
+
Γ
(
b
−
1
)
Γ
(
a
)
z
1
−
b
M
(
a
−
b
+
1
,
2
−
b
,
z
)
.
{\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a-b+1)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a-b+1,2-b,z).}
它与另一个广义超几何函数有下列关系[ 3]
U
(
a
,
b
,
z
)
=
z
−
a
⋅
2
F
0
(
a
,
a
−
b
+
1
;
;
−
z
−
1
)
{\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1})}
但此时上面的超几何函数对应的级数不收敛，需要通过另外的方式来定义（如积分表达式）。更常见的是下面的表述，它将 2 F 0 对应的超几何级数视为渐近级数。
U
(
a
,
b
,
z
)
≈
z
−
a
⋅
2
F
0
(
a
,
a
−
b
+
1
;
;
−
z
−
1
)
,
z
→
∞
,
|
arg
z
|
<
3
π
2
{\displaystyle U(a,b,z)\approx z^{-a}\cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1}),\quad z\rightarrow \infty ,|\arg z|<{\frac {3\pi }{2}}}
Kummer 函数是整函数，而 Tricomi 函数一般有奇点 0。
大部分系数为自变量 z
(
A
+
B
z
)
d
2
w
d
z
2
+
(
C
+
D
z
)
d
w
d
z
+
(
E
+
F
z
)
w
=
0
{\displaystyle (A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}
先将 A Bz z
z
d
2
w
d
z
2
+
(
C
+
D
z
)
d
w
d
z
+
(
E
+
F
z
)
w
=
0
{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}
这里的 C,D,E,F z D 2 -4F -1/2 z
z
d
2
w
d
z
2
+
(
C
+
D
D
2
−
4
F
z
)
d
w
d
z
+
(
E
D
2
−
4
F
+
F
D
2
−
4
F
z
)
w
=
0
{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0}
它的解为，
w
(
z
)
=
exp
[
−
(
1
+
D
D
2
−
4
F
)
z
2
]
f
(
z
)
,
f
(
z
)
=
k
1
M
(
a
,
C
,
z
)
+
k
2
U
(
a
,
C
,
z
)
,
a
=
(
1
+
D
D
2
−
4
F
)
C
2
−
E
D
2
−
4
F
,
k
1
,
k
2
∈
C
{\displaystyle w(z)=\exp[-(1+{\tfrac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}){\tfrac {z}{2}}]f(z),\quad f(z)=k_{1}M(a,C,z)+k_{2}U(a,C,z),\quad a=(1+{\tfrac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}){\tfrac {C}{2}}-{\tfrac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},k_{1},k_{2}\in \mathbb {C} }
Kummer 方程的李代数参数[ 注 1] [ 3]
α
=
b
−
1
,
θ
=
2
a
−
b
,
{\displaystyle \alpha =b-1,\theta =2a-b,}
其中第一个李代数参数是 z z z
F
α
,
θ
(
z
)
and
z
−
α
F
−
α
,
θ
(
z
)
{\displaystyle F_{\alpha ,\theta }(z){\text{ and }}z^{-\alpha }F_{-\alpha ,\theta }(z)}
惠泰克方程的形式为：
d
2
w
d
z
2
+
(
−
1
4
+
κ
z
+
1
/
4
−
μ
2
z
2
)
w
=
0.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+{\frac {1/4-\mu ^{2}}{z^{2}}}\right)w=0.}
它的两个线性无关的解为惠泰克函数，与第一类、第二类合流超几何函数有下列关系[ 1]
M
κ
,
μ
(
z
)
=
exp
(
−
z
/
2
)
z
μ
+
1
2
M
(
μ
−
κ
+
1
2
,
1
+
2
μ
;
z
)
{\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}
W
κ
,
μ
(
z
)
=
exp
(
−
z
/
2
)
z
μ
+
1
2
U
(
μ
−
κ
+
1
2
,
1
+
2
μ
;
z
)
{\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}
注意到
M
κ
,
μ
(
z
)
=
exp
(
−
z
/
2
)
z
μ
+
1
2
F
2
μ
,
−
2
κ
(
z
)
{\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}F_{2\mu ,-2\kappa }(z)}
故惠泰克方程中的参数实际上与 Kummer 方程对应的李代数参数等价，两者之间只差一个常数倍。
合流超几何函数的很多性质可以通过高斯超几何函数得到，高斯超几何函数的积分表示为：
B
(
a
,
c
−
a
)
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
b
)
=
∫
1
∞
t
b
−
c
(
t
−
1
)
c
−
a
−
1
(
t
−
z
b
)
−
b
d
t
=
∫
1
∞
t
−
c
(
t
−
1
)
c
−
a
−
1
(
1
−
z
b
t
)
−
b
d
t
,
ℜ
(
c
)
>
ℜ
(
a
)
>
0
,
|
arg
(
1
−
z
b
)
|
<
π
{\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a)\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})=\int _{1}^{\infty }t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-{\tfrac {z}{b}})^{-b}\mathrm {d} t=\int _{1}^{\infty }t^{-c}(t-1)^{c-a-1}(1-{\tfrac {z}{bt}})^{-b}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0,|\arg(1-{\tfrac {z}{b}})|<\pi }
式中的 Β 是beta函数 。
两边取极限后就得到（第一类）合流超几何函数的积分表示[ 3]
B
(
a
,
c
−
a
)
1
F
1
(
a
;
c
;
z
)
=
∫
1
∞
t
−
c
(
t
−
1
)
c
−
a
−
1
e
z
t
d
t
,
ℜ
(
c
)
>
ℜ
(
a
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a)\,{}_{1}F_{1}(a;c;z)=\int _{1}^{\infty }t^{-c}(t-1)^{c-a-1}e^{\tfrac {z}{t}}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0}
第二类合流超几何函数的积分表示为[ 3]
Γ
(
a
)
U
(
a
,
b
,
z
)
=
∫
0
∞
e
−
z
t
t
a
−
1
(
1
+
t
)
b
−
a
−
1
d
t
,
ℜ
(
a
)
>
0
{\displaystyle \Gamma (a)U(a,b,z)=\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt,\quad \Re (a)>0}
高斯超几何函数的 Pfaff 变换公式为：
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
b
)
=
(
1
−
z
b
)
−
b
2
F
1
(
c
−
a
,
b
;
c
;
1
b
b
z
z
−
b
)
,
|
arg
(
1
−
z
b
)
|
<
π
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})=(1-{\tfrac {z}{b}})^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {1}{b}}{\tfrac {bz}{z-b}}),\quad |\arg(1-{\tfrac {z}{b}})|<\pi }
两边取极限得到（第一类）合流超几何函数的 Kummer 变换公式[ 2]
1
F
1
(
a
;
c
;
z
)
=
e
z
1
F
1
(
c
−
a
;
c
;
−
z
)
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)=e^{z}\,{}_{1}F_{1}(c-a;c;-z)}
第二类合流超几何函数的 Kummer 变换公式为[ 2]
U
(
a
,
b
,
z
)
=
z
1
−
b
U
(
1
+
a
−
b
,
2
−
b
,
z
)
{\displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)}
很多特殊函数都是合流超几何函数的特殊情形。
第一类、第二类虚宗量贝塞尔函数 可以分别表示为[ 1]
I
ν
(
z
)
=
z
ν
2
ν
e
z
Γ
(
ν
+
1
)
M
(
ν
+
1
2
,
2
ν
+
1
,
z
)
{\displaystyle I_{\nu }(z)={\frac {z^{\nu }}{2^{\nu }e^{z}\Gamma (\nu +1)}}M(\nu +{\frac {1}{2}},2\nu +1,z)}
K
ν
(
z
)
=
π
(
2
z
)
ν
e
−
z
U
(
ν
+
1
2
,
2
ν
+
1
,
z
)
{\displaystyle K_{\nu }(z)={\sqrt {\pi }}(2z)^{\nu }e^{-z}U(\nu +{\frac {1}{2}},2\nu +1,z)}
不完全伽玛函数 可以表示为[ 1]
γ
(
a
,
z
)
=
z
a
a
M
(
a
,
a
+
1
,
−
z
)
,
a
∉
Z
0
−
{\displaystyle \gamma (a,z)={\frac {z^{a}}{a}}M(a,a+1,-z),\quad a\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}
Γ
(
a
,
z
)
=
e
−
z
U
(
1
−
a
,
1
−
a
,
z
)
{\displaystyle \Gamma (a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)}
误差函数 可以表示为[ 1]
erf
(
z
)
=
2
z
π
M
(
1
2
,
3
2
,
−
z
2
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}M({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-z^{2})}
拉盖尔函数 可以表示为[ 1]
L
n
(
α
)
(
z
)
=
(
n
+
α
n
)
M
(
−
n
,
α
+
1
,
z
)
,
α
∉
Z
−
{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(z)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,z),\quad \alpha \notin \mathbb {Z} ^{-}}
其中的二项式系数用贝塔函数 来定义。
（物理学上的）厄米多项式 可以表示为[ 1]
H
n
(
z
)
=
2
n
U
(
−
n
2
,
1
2
,
z
2
)
,
n
∈
Z
0
+
,
ℜ
(
z
)
>
0
{\displaystyle H_{n}(z)=2^{n}U(-{\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}},z^{2}),\quad n\in \mathbb {Z} _{0}^{+},\Re (z)>0}
^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 吴崇试. 17. 数学物理方法（第二版） . 北京大学出版社 . [2003]. ISBN 9787301068199 ^ 2.0 2.1 2.2 Daalhuis, Adri B. Olde, 合流超几何函数 , Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255MR 2723248 ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113
Chistova, E.A., c/c024700 , Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz & Tricomi, Francesco G. Higher transcendental functions. Vol. I. New York–Toronto–London: McGraw–Hill Book Company, Inc. 1953. MR 0058756 Kummer, Ernst Eduard. De integralibus quibusdam definitis et seriebus infinitis . Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1837, 17 : 228–242 [2014-09-05 ] . ISSN 0075-4102 doi:10.1515/crll.1837.17.228 存档 于2014-08-19） （拉丁语） . Slater, Lucy Joan. Confluent hypergeometric functions . Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1960. MR 0107026 Tricomi, Francesco G. Sulle funzioni ipergeometriche confluenti. Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta. 1947, 26 : 141–175. ISSN 0003-4622 MR 0029451 doi:10.1007/bf02415375 （意大利语） . Tricomi, Francesco G. Funzioni ipergeometriche confluenti. Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche 1 . Rome: Edizioni cremonese. 1954. ISBN 978-88-7083-449-9MR 0076936 （意大利语） .
![{\displaystyle w(z)=\exp[-(1+{\tfrac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}){\tfrac {z}{2}}]f(z),\quad f(z)=k_{1}M(a,C,z)+k_{2}U(a,C,z),\quad a=(1+{\tfrac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}){\tfrac {C}{2}}-{\tfrac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},k_{1},k_{2}\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff11ef72b9153d5aab81459a0bfa95e429f4ef88)
.
