代數整數

各式各樣的數

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然數 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小數
 有限小數
 無限小數
 循環小數
 有理數 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
實數 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

負數 $\mathbb {R} ^{-}$
整數 $\mathbb {Z}$
負整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二進分數
 規矩數
 無理數
 超越數
 虛數 $\mathbb {I}$
二次無理數
 艾森斯坦整數 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元數
 四元數 $\mathbb {H}$
八元數 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
 上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數（英語：Dual quaternion）
超複數
 超數
 超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
 公稱值

規矩數
 可定義數
 序數
 超限數
 $p$ 進數
 數學常數

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

在數學裡，代數整數（algebraic integer）是複數中的一類。一個複數α是代數整數若且唯若它是某個個整系數的首一多項式 $P(x)$ 的根。其中首一（英文：monic）意謂最高冪次項的系數是1。

因此，所有代數整數都是代數數，但並非所有代數數都是代數整數。所有代數整數構成一個環，通常記作 $\mathbb {A}$ 。

如果 $P(x)$ 是整係數本原多項式（即系數的最大公因數是1的多項式），但非首一多項式，則 $P$ 的根都不是代數整數。

定義

以下是代數整數四種相互等價的定義。設 $K$ 為代數數域（有理數域 $\mathbb {Q}$ 的有限擴張）。根據本原元定理， $K$ 可以寫成 $K=\mathbb {Q} (\theta )$ 的形式。其中 $\theta \in \mathbb {C}$ 是某個代數數。設有 $\alpha \in K$ ，則 $α$ 是代數整數若且唯若以下命題之一成立：

存在整係數多項式： $P=X^{m}+a_{1}X^{m-1}+\cdots +a_{m-1}X+a_{m}\in \mathbb {Z} [X]$ ，使得 $P(\alpha )=0$ 。
$α$ 在 $\mathbb {Q}$ 上的極小首一多項式是整係數多項式。
$\mathbb {Z} [\alpha ]$ 是有限生成的 $\mathbb {Z}$ $-$ 模。
存在有限生成的 $\mathbb {Z}$ $-$ 子模： $M\subset \mathbb {C}$ ，使得 $\alpha M\subseteq M$ 。

例子

有理數域 $\mathbb {Q}$ 中的代數整數就是整數。換句話說， $\mathbb {A}$ 和 $\mathbb {Q}$ 交集是整數環 $\mathbb {Z}$ 。這可以用整係數多項式的一個簡單性質證明。如果一個整係數多項式

P(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{m}x^{m}

有一個根是有理數：

\scriptstyle r={\frac {p}{q}}

，其中p、q是互素的整數，那麼必然有：分母q 整除

a_{m}

，以及分子p 整除

a_{0}

。因此，由於代數整數是某個首一多項式的根，如果它是有理數，那麼它的分母整除多項式的最高冪次項，也就是說整除1。所以這個有理數的分母是1，即是說它是整數。反過來，所有的整數n都是整係數首一多項式

\displaystyle x-n

的根，所以是代數整數。

一個給定的代數數域 $\mathbb {K}$ 與 $\mathbb {A}$ 的交集稱為這個數域的（代數）整數環，記作 ${\mathcal {O}}_{K}$ 。這個整數環中的代數整數不再只是整數。比如說，給定一個數域： $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ ，那麼對應的整數環中不僅有整數，還有 ${\sqrt {2}}$ ，因為 ${\sqrt {2}}$ 是首一多項式 $\scriptstyle x^{2}-2$ 的根。

$\scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 不是代數整數。這是因為 $\scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 在有理數域上的最小多項式是 $\scriptstyle 2x^{2}-1$ ，不是一個首一多項式。

$\scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ 是一個代數整數。它是多項式 $\scriptstyle x^{2}-x-1$ 的根。一般來說，如果整數 $\scriptstyle d$ 除以4餘1，那麼 $\scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}$ 也是代數整數，因為它是多項式 $\scriptstyle x^{2}-x-{\frac {d-1}{4}}$ 的根。

給定素數 $p$ ， $p$ 次單位根 $\zeta _{p}$ 也是一個代數整數，因為是首一多項式 $\displaystyle x^{p}-1=0$ 的根。實際上， $p$ 次分圓域 $\mathbb {Q} (\zeta _{p})$ 的整數環就是 $\mathbb {Z} [\zeta _{p}]$ 。

性質

兩個代數整數的和是一個代數整數，他們的差及積也是。這時它們滿足的首一多項式可以用結式表達；但他們的商就不一定是代數整數。
一個以代數整數為系數的首一多項式的根也是代數整數。換句話說，代數整數構成一個環，並且在任何代數擴張下是整閉的。
任何從整數出發，透過和、積與開方得到的數都是代數整數，但並非所有代數整數都可依此構造，例如，大多數的五次代數整數都無法透過這種方式構造。
代數整數是裴蜀整環。

參見

參考來源

Daniel A. Marcus, Number Fields（數域）, third edition, Springer-Verlag, 1977