Horofunction

数学上，horofunction是定义在一个完备度量空间X上的函数，是X上的距离函数的极限。horofunction是米哈伊尔·格罗莫夫将Busemann function推广而引入的概念。

定义

设(X,d)为完备度量空间。取基点$o\in X$。对任一点$x\in X$，定义距离函数

$d_{x}(y)=d(x,y)-d(y,o)$

这个函数连续，因此在X的连续函数空间C(X)中。在空间C(X)中赋以sup范数，建立$X\to C(X)$的映射

$x\mapsto d_{x}$

易知这个映射是等距嵌入，称为Kuratowski嵌入。

考虑商空间$C'=C(X)/\{{\textrm {constantfunctions}}\}$，并以在X中的有界集上一致收敛作为拓扑。把C(X)投射到C'，得到从X到$C'$中的嵌入。这个嵌入不依赖于基点o。

设X是可数紧致的。定义${\overline {X}}_{h}$为X在$C'$中的闭包，则${\overline {X}}_{h}$称为X的horofunction紧致化（horofunction compactification）。又定义边界$\partial _{h}X={\overline {X}}_{h}\setminus X$，则$\partial _{h}X$称为X的horofunction边界（horofunction boundary）。一个连续函数$h\in C(X)$ 称为horofunction ，如果h投射到$C'$的像b是在$\partial _{h}X$内。称h是以b为中心的horofunction。集合$h^{-1}(-\infty ,c)\in X$称为开horoball，而$h^{-1}(c)$则称为horosphere。

参考

• Gromov, M., Hyperbolic manifolds, groups and actions
• Andreev, P. D.,A. D. Alexandrov's Problem for Non-Positively Curved Spaces in the Sense of Busemann（页面存档备份，存于互联网档案馆）. Russian Mathematics. 2010, 54(9):7–29.