Horofunction

數學上，horofunction是定義在一個完備度量空間X上的函數，是X上的距離函數的極限。horofunction是米哈伊爾·格羅莫夫將Busemann function推廣而引入的概念。

定義

設(X,d)為完備度量空間。取基點$o\in X$。對任一點$x\in X$，定義距離函數

$d_{x}(y)=d(x,y)-d(y,o)$

這個函數連續，因此在X的連續函數空間C(X)中。在空間C(X)中賦以sup範數，建立$X\to C(X)$的映射

$x\mapsto d_{x}$

易知這個映射是等距嵌入，稱為Kuratowski嵌入。

考慮商空間$C'=C(X)/\{{\textrm {constantfunctions}}\}$，並以在X中的有界集上一致收斂作為拓撲。把C(X)投射到C'，得到從X到$C'$中的嵌入。這個嵌入不依賴於基點o。

設X是可數緊緻的。定義${\overline {X}}_{h}$為X在$C'$中的閉包，則${\overline {X}}_{h}$稱為X的horofunction緊緻化（horofunction compactification）。又定義邊界$\partial _{h}X={\overline {X}}_{h}\setminus X$，則$\partial _{h}X$稱為X的horofunction邊界（horofunction boundary）。一個連續函數$h\in C(X)$ 稱為horofunction ，如果h投射到$C'$的像b是在$\partial _{h}X$內。稱h是以b為中心的horofunction。集合$h^{-1}(-\infty ,c)\in X$稱為開horoball，而$h^{-1}(c)$則稱為horosphere。

參考

• Gromov, M., Hyperbolic manifolds, groups and actions
• Andreev, P. D.,A. D. Alexandrov's Problem for Non-Positively Curved Spaces in the Sense of Busemann（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. Russian Mathematics. 2010, 54(9):7–29.