瓦特曲线是指一个六次方程的平面代数曲线,也是圆代数曲线。是由二个半径为b ,圆心之间距离为2a(分别在(±a, 0))的圆所产生,一个长为2c的线段,两端点分别在二圆上,其线段中间的轨迹即为瓦特曲线,此曲线和詹姆斯·瓦特在蒸汽机上的贡献有关。
绘制瓦特曲线(图中的黑线)
瓦特曲线的方程式可以写为以下的极坐标系方程
![{\displaystyle r^{2}=b^{2}-\left[a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}\right]^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6e3921b0bd544992632a8d945be2a2e9dea8d2)
推导
极坐标系
极坐标系方程可以用下式推导[1]:
在复数平面上,令二圆的圆心为a和−a,二圆连线的端点为−a+bei λ和a+bei ρ。令线段相对水平线的斜角ψ,其中点为rei θ,则二端点也可表示为rei θ ± cei ψ。二端点的二种表示式可得:
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二式相加再除二可得
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比较半径及幅角可得
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一开始的二式相减再除二可得
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将a以下式表示
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因此
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直角座标系
将极座标方式展开可得
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令d 2=a2+b2–c2 因此可简化上式为:
瓦特连杆
当曲线通过原点时,原点为拐点,因此有3阶接触切线。不过若a2=b2+<c2,则有5阶接触切线,换句话说此曲线相当接近直线,这就是瓦特连杆可以作为直线运动机构的原理。
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参考资料
外部链接