瓦特曲线

瓦特曲线是指一个六次方程的平面代数曲线,也是圆代数曲线英语circular algebraic curve。是由二个半径为b ,圆心之间距离为2a(分别在(±a, 0))的圆所产生,一个长为2c的线段,两端点分别在二圆上,其线段中间的轨迹即为瓦特曲线,此曲线和詹姆斯·瓦特在蒸汽机上的贡献有关。

绘制瓦特曲线(图中的黑线)

瓦特曲线的方程式可以写为以下的极坐标系方程

推导

极坐标系

极坐标系方程可以用下式推导[1]: 在复数平面上,令二圆的圆心为a−a,二圆连线的端点为−a+bei λa+bei ρ。令线段相对水平线的斜角ψ,其中点为rei θ,则二端点也可表示为rei θ ± cei ψ。二端点的二种表示式可得:

 
 

二式相加再除二可得

 

比较半径及幅角可得

 

一开始的二式相减再除二可得

 

a以下式表示

 

因此

 
 
 
 

直角座标系

将极座标方式展开可得

 
 
 
 
 

d 2=a2+b2c2 因此可简化上式为: 

瓦特连杆

 

当曲线通过原点时,原点为拐点,因此有3阶接触切线。不过若a2=b2+<c2,则有5阶接触切线,换句话说此曲线相当接近直线,这就是瓦特连杆英语Watt's linkage可以作为直线运动机构的原理。

相关条目

参考资料

  1. ^ See Catalan and Rutter

外部链接