波塞利耶-利普金机械

波塞利耶-利普金机械,发明于1864年,属于平面连杆机构,是第一个真正可以将转动运动转换为直线运动的平面直线运动机构,它以法国陆军军官Charles-Nicolas Peaucellier(1832-1913)和立陶宛犹太人Yom Tov Lipman Lipkin(1846-1876,著名拉比Israel Salanter的儿子)的名字命名[1][2]

波塞利耶-利普金机械(相同颜色的线具有相同的长度)

在此机构发明之前,在没有参考导轨的情形下,没有平面机构可以将直线运动完美的转换为转动运动。1864年时,所有的动力来源是来自蒸汽机,其中有活塞,由汽缸施力,往上或往下运动。活塞和汽缸需要有良好的密封特性,让蒸汽机中的蒸汽可以维持在汽缸内,不会因为漏气而降低能量输出的效率。活塞和汽缸维持密封的作法是让活塞维持和汽缸壁平行的直线运动。因此如何让活塞的直线运动转换为旋转运动就变的非常重要,大部分的蒸气机应用都是旋转运动。

波塞利耶-利普金机械的数学和圆的反演几何英语inversive geometry有关。

萨鲁斯连杆机构

在波塞利耶-利普金机械之前,有另外一个立体的直线运动机构,称为萨鲁斯连杆机构英语Sarrus linkage,比波塞利耶-利普金机械早11年发明,是由一组以枢纽相连的长方形组成。长方形之间可以以枢纽为轴旋转,而长方形上的顶点会直线运动。萨鲁斯连杆机构属于立体的空间机构。

几何

 
波塞利耶-利普金机械的几何图

在波塞利耶-利普金机械的几何图中,有六个固定长度的杆:OA, OC, AB, BC, CD, DA。OA和OC长度相同,而AB、BC、CD和DA的长度也都相同,形成菱形。O点是固定点。若B点限制在一个圆的圆周上运动(例如以OB为直径,通过O和B二点的圆,图中红色的图)。D点会延著直线运动(图中的蓝线)。若点B限制在一直线上运动(不通过O点的直线),则D点会在圆周上运动(通过O点的圆周)。

数学证明

共线

首先,需要证明O点、B点和D点共线。这可以用观察的方式得知,连杆是两侧对称的,以直线OD为对称轴,因此B一定在此线上。

若要用正式的方式证明。因为边BD和自身相等,边BA和边BC相等,边AD和边CD相等,因此三角形BAD和三角形BCD全等,角BAD和角BCD相等。

接下来要证明三角形OBA和三角形OBC全等。因为线OA和线OC相等,边OB和自身相等,边BA和边BC相等,因此二三角形全等。角OBA和角OBC相等。

以下四个角的和是一个圆角,因此

∠OBA + ∠ABD + ∠DBC + ∠CBO = 360°

但因为三角形的全等,角OBA = 角OBC,角DBA = 角DBC,因此

2 × ∠OBA + 2 × ∠DBA = 360°
∠OBA + ∠DBA = 180°

因此,点O、B、D共线。

反演点

令点P为线段AC和线段BD的交点。因为ABCD是菱形,P会是线段AC和线段BD的中点,因此,线段BP和线段PD等长。

因为边BP和边DP相等,边AP和自身相等,边AB和边AD相同,因此三角形BPA和三角形DPA全等。因此角BPA等于角DPA。但因为角BPA + 角DPA = 180°,因此角BPA和角DPA都是90°。

令:

 
 
 

则:

 
  (因为毕氏定理
 
  (因为毕氏定理)
 

因为OA和AD的长度固定,,因此OB和OD的乘积为定值:

 

又因为O点、B点和D点共线,因此D点是B点相对圆(O,k)(圆心在O点,半径为k)的反演点。

反演几何

透过反演几何英语inversive geometry的特性,因为点D的轨迹是点B轨迹的反演。若B的轨迹是通过反演中心O的圆,则点D的轨迹会是一直线。若点B的轨迹是不通过点O的直线,则点D的轨迹是通过点O的圆。Q.E.D.

典型的主动件

 
图中的滑块摇杆四连杆是波塞利耶-利普金机械的输入

波塞利耶-利普金机械有许多的反演机构。其中一个如图所示,以滑块摇杆四连杆( rocker-slider four-bar)为输入,若要再细分,滑块为输入,使得摇杆以及波塞利耶-利普金机械转动。

展览物

在荷兰埃因霍温的永久展览品中,有展览物就是以此机构为主题。此展览物大小为22乘15乘16米(72乘49乘52英尺),重6,600千克(14,600英磅),游客可以透过控制盘操作[3]


相关条目

参考资料

  1. ^ Mathematical tutorial of the Peaucellier–Lipkin linkage. Kmoddl.library.cornell.edu. [2011-12-06]. (原始内容存档于2014-09-06). 
  2. ^ Taimina, Daina. How to draw a straight line by Daina Taimina. Kmoddl.library.cornell.edu. [2011-12-06]. (原始内容存档于2011-12-01). 
  3. ^ Just because you are a character, doesn't mean you have character. Ivo Schoofs. [2017-08-14]. (原始内容存档于2020-12-02). 

文献

外部链接