波塞利耶-利普金機械

波塞利耶-利普金機械,發明於1864年,屬於平面連杆機構,是第一個真正可以將轉動運動轉換為直線運動的平面直線運動機構,它以法國陸軍軍官Charles-Nicolas Peaucellier(1832-1913)和立陶宛猶太人Yom Tov Lipman Lipkin(1846-1876,著名拉比Israel Salanter的兒子)的名字命名[1][2]

波塞利耶-利普金機械(相同顏色的線具有相同的長度)

在此機構發明之前,在沒有參考導軌的情形下,沒有平面機構可以將直線運動完美的轉換為轉動運動。1864年時,所有的動力來源是來自蒸汽機,其中有活塞,由汽缸施力,往上或往下運動。活塞和汽缸需要有良好的密封特性,讓蒸汽機中的蒸汽可以維持在汽缸內,不會因為漏氣而降低能量輸出的效率。活塞和汽缸維持密封的作法是讓活塞維持和汽缸壁平行的直線運動。因此如何讓活塞的直線運動轉換為旋轉運動就變的非常重要,大部份的蒸氣機應用都是旋轉運動。

波塞利耶-利普金機械的數學和圓的反演幾何英語inversive geometry有關。

薩魯斯連桿機構

在波塞利耶-利普金機械之前,有另外一個立體的直線運動機構,稱為薩魯斯連桿機構英語Sarrus linkage,比波塞利耶-利普金機械早11年發明,是由一組以樞紐相連的長方形組成。長方形之間可以以樞紐為軸旋轉,而長方形上的頂點會直線運動。薩魯斯連桿機構屬於立體的空間機構。

幾何

 
波塞利耶-利普金機械的幾何圖

在波塞利耶-利普金機械的幾何圖中,有六個固定長度的桿:OA, OC, AB, BC, CD, DA。OA和OC長度相同,而AB、BC、CD和DA的長度也都相同,形成菱形。O點是固定點。若B點限制在一個圓的圓周上運動(例如以OB為直徑,通過O和B二點的圓,圖中紅色的圖)。D點會延著直線運動(圖中的藍線)。若點B限制在一直線上運動(不通過O點的直線),則D點會在圓周上運動(通過O點的圓周)。

數學證明

共線

首先,需要證明O點、B點和D點共線。這可以用觀察的方式得知,連桿是兩側對稱的,以直線OD為對稱軸,因此B一定在此線上。

若要用正式的方式證明。因為邊BD和自身相等,邊BA和邊BC相等,邊AD和邊CD相等,因此三角形BAD和三角形BCD全等,角BAD和角BCD相等。

接下來要證明三角形OBA和三角形OBC全等。因為線OA和線OC相等,邊OB和自身相等,邊BA和邊BC相等,因此二三角形全等。角OBA和角OBC相等。

以下四個角的和是一個圓角,因此

∠OBA + ∠ABD + ∠DBC + ∠CBO = 360°

但因為三角形的全等,角OBA = 角OBC,角DBA = 角DBC,因此

2 × ∠OBA + 2 × ∠DBA = 360°
∠OBA + ∠DBA = 180°

因此,點O、B、D共線。

反演點

令點P為線段AC和線段BD的交點。因為ABCD是菱形,P會是線段AC和線段BD的中點,因此,線段BP和線段PD等長。

因為邊BP和邊DP相等,邊AP和自身相等,邊AB和邊AD相同,因此三角形BPA和三角形DPA全等。因此角BPA等於角DPA。但因為角BPA + 角DPA = 180°,因此角BPA和角DPA都是90°。

令:

 
 
 

則:

 
  (因為畢氏定理
 
  (因為畢氏定理)
 

因為OA和AD的長度固定,,因此OB和OD的乘積為定值:

 

又因為O點、B點和D點共線,因此D點是B點相對圓(O,k)(圓心在O點,半徑為k)的反演點。

反演幾何

透過反演幾何英語inversive geometry的特性,因為點D的軌跡是點B軌跡的反演。若B的軌跡是通過反演中心O的圓,則點D的軌跡會是一直線。若點B的軌跡是不通過點O的直線,則點D的軌跡是通過點O的圓。Q.E.D.

典型的主動件

 
圖中的滑塊搖桿四連桿是波塞利耶-利普金機械的輸入

波塞利耶-利普金機械有許多的反演機構。其中一個如圖所示,以滑塊搖桿四連桿( rocker-slider four-bar)為輸入,若要再細分,滑塊為輸入,使得搖桿以及波塞利耶-利普金機械轉動。

展覽物

在荷蘭埃因霍溫的永久展覽品中,有展覽物就是以此機構為主題。此展覽物大小為22乘15乘16米(72乘49乘52英尺),重6,600公斤(14,600英磅),遊客可以透過控制盤操作[3]


相關條目

參考資料

  1. ^ Mathematical tutorial of the Peaucellier–Lipkin linkage. Kmoddl.library.cornell.edu. [2011-12-06]. (原始內容存檔於2014-09-06). 
  2. ^ Taimina, Daina. How to draw a straight line by Daina Taimina. Kmoddl.library.cornell.edu. [2011-12-06]. (原始內容存檔於2011-12-01). 
  3. ^ Just because you are a character, doesn't mean you have character. Ivo Schoofs. [2017-08-14]. (原始內容存檔於2020-12-02). 

文獻

外部連結