欧拉恒等式

欧拉恒等式是指下列的关系式：

从${{e}^{0}}=1$开始，以相对速度i，走π长时间，加1，则到达原点

${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$

其中$e\,$是自然对数的底，$i\,$是虚数单位，$\pi \,$是圆周率。

这条恒等式第一次出现于1748年，瑞士数学、物理学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在洛桑出版的书《无穷小分析引论》（Introductio in analysin infinitorum）。这是复分析的欧拉公式之特殊情况。

证明

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!$（欧拉公式）

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \,$（代入$x=\pi \,$）

${{e}^{{i}\,{\pi }}}=-1$（因$\cos \pi =-1$和$\sin \pi =0$）

${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$

与欧拉恒等式有关的文学作品

《博士热爱的算式》（博士の愛した数式），小川洋子著，台湾版本由王蕴洁翻译，二版，麦田出版社，2008年，ISBN 978-986-173-408-8。

参见

• 欧拉公式

参考文献

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