歐拉恆等式

歐拉恆等式是指下列的關係式：

從${{e}^{0}}=1$開始，以相對速度i，走π長時間，加1，則到達原點

${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$

其中$e\,$是自然對數的底，$i\,$是虛數單位，$\pi \,$是圓周率。

這條恆等式第一次出現於1748年，瑞士數學、物理學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在洛桑出版的書《無窮小分析引論》（Introductio in analysin infinitorum）。這是複分析的歐拉公式之特殊情況。

證明

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!$（歐拉公式）

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \,$（代入$x=\pi \,$）

${{e}^{{i}\,{\pi }}}=-1$（因$\cos \pi =-1$和$\sin \pi =0$）

${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$

與歐拉恆等式有關的文學作品

《博士熱愛的算式》（博士の愛した数式），小川洋子著，臺灣版本由王蘊潔翻譯，二版，麥田出版社，2008年，ISBN 978-986-173-408-8。

參見

• 歐拉公式

參考文獻

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