勒贝格微分定理

数学上，勒贝格微分定理是实分析的一条定理。这条定理大致是说，一个局部可积函数在几乎每点的值，都是函数在该点为中心的无限小的球上的平均。换言之，该函数的定义域上几乎处处都是勒贝格点。

定理叙述

设$f\in \mathrm {L_{loc}^{1}} (\mathbb {R} ^{k})$为实值或复值的局部可积函数，m为$\mathbb {R} ^{k}$的勒贝格测度。那么$\mathbb {R} ^{k}$中几乎处处的x都符合

$\lim _{r\to 0}{\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}\left|f(y)-f(x)\right|dm(y)=0$

使上式成立的点称为$f$的勒贝格点。

证明

因为这定理是关于函数的局部性质，不失一般性，可假设函数f定义在有界集合中，故f为可积函数。

定义

$(T_{r}f)(x)={\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}\left|f(y)-f(x)\right|dm(y)$

$(Tf)(x)=\limsup _{r\to 0}(T_{r}f)(x)$

那么这定理就是对几乎处处的x有Tf = 0。只需证对任何y > 0，集合{Tf > y}的测度为零。

对连续函数，这定理显然成立。连续函数在$\mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ^{k})$中稠密，故此对任意正整数n，有连续函数g使得$\|f-g\|_{\mathrm {L} ^{1}}<1/n$。

令$h=f-g$。由于g连续，有Tg = 0。

用三角不等式有

$(T_{r}h)(x)\leq {\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}\left|h\right|dm+|h(x)|$

设$Mh=\sup _{r>0}{\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}\left|h\right|dm$。（Mh为h的哈代－李特尔伍德极大函数。）从上式得

$Th\leq Mh+|h|$

因为$T_{r}f\leq T_{r}g+T_{r}h=T_{r}h$，所以有

$Tf\leq Th\leq Mh+|h|$

若Tf > y，则有Mh > y/2或者|h| > y/2。因此$\{Tf>y\}\subset \{Mh>y/2\}\cup \{|h|>y/2\}$

由哈代－李特尔伍德极大不等式得

$m\{Mh>y/2\}\leq 3^{k}(2/y)\|h\|_{\mathrm {L} ^{1}}<3^{k}\cdot 2/(ny)$

由积分的基本性质有

$m\{|h|>y/2\}y/2\leq \|h\|_{\mathrm {L} ^{1}}$

故得

$m\{|h|>y/2\}\leq 2/(ny)$

因此

${\begin{aligned}&m\{Tf>y\}\\&\leq m\{Mh>y/2\}+m\{|h|>y/2\}\\&<2(3^{k}+1)/(ny)\end{aligned}}$

因为上式对所有正整数n成立，从而知m{Tf > y}=0。定理得证。

参考

• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.