定理敘述
證明
因為這定理是關於函數的局部性質,不失一般性,可假設函數f定義在有界集合中,故f為可積函數。
定義
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那麼這定理就是對幾乎處處的x有Tf = 0。只需證對任何y > 0,集合{Tf > y}的測度為零。
對連續函數,這定理顯然成立。連續函數在 中稠密,故此對任意正整數n,有連續函數g使得 。
令 。由於g連續,有Tg = 0。
用三角不等式有
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設 。(Mh為h的哈代-李特爾伍德極大函數。)從上式得
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因為 ,所以有
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若Tf > y,則有Mh > y/2或者|h| > y/2。因此
由哈代-李特爾伍德極大不等式得
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由積分的基本性質有
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故得
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因此
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因為上式對所有正整數n成立,從而知m{Tf > y}=0。定理得證。
參考
- Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.