信息论
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信息论(英语:information theory)是应用数学、电子学和电脑科学的一个分支,涉及信息的量化、存储和通讯等。信息论是由克劳德·香农发展,用来找出信号处理与通讯操作的基本限制,如数据压缩、可靠的存储和数据传输等。自创立以来,它已拓展应用到许多其他领域,包括统计推断、自然语言处理、密码学、神经生物学[1]、进化论[2]和分子编码的功能[3]、生态学的模式选择[4]、热物理[5]、量子计算、语言学、剽窃检测[6]、模式识别、异常检测和其他形式的数据分析。[7]
熵是信息的一个关键度量,通常用一条消息中需要存储或传输一个符号的平均位元数来表示。熵衡量了预测随机变量的值时涉及到的不确定度的量。例如,指定掷硬币的结果(两个等可能的结果)比指定掷骰子的结果(六个等可能的结果)所提供的信息量更少(熵更少)。
信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑,给出了估算通讯波道容量的方法。信息传输和信息压缩是信息论研究中的两大领域。这两个方面又由波道编码定理、信源-波道隔离定理相互联络。
信息论的基本内容的应用包括无损数据压缩(如ZIP文件)、有损数据压缩(如MP3和JPEG)、波道编码(如数码用户线路(DSL))。这个领域处在数学、统计学、电脑科学、物理学、神经科学和电机工程学的交叉点上。信息论对航海家深空探测任务的成败、光碟的发明、手机的可行性、互联网的发展、语言学和人类感知的研究、对黑洞的了解,以及许多其他领域都影响深远。信息论的重要子领域有信源编码、波道编码、算法复杂性理论、算法信息论、信息论安全性和信息度量等。
简述
信息论的主要内容可以类比人类最广泛的交流手段——语言来阐述。
一种简洁的语言(以英语为例)通常有两个重要特点: 首先,最常用的词(比如"a"、"the"、"I")应该比不太常用的词(比如"benefit"、"generation"、"mediocre")要短一些;其次,如果句子的某一部分被漏听或者由于杂讯干扰(比如一辆车辆疾驰而过)而被误听,听者应该仍然可以抓住句子的大概意思。而如果把电子通讯系统比作一种语言的话,这种健壮性(robustness)是不可或缺的。将健壮性引入通讯是通过波道编码完成的。信源编码和波道编码是信息论的基本研究课题。
注意这些内容同消息的重要性之间是毫不相干的。例如,像“多谢;常来”这样的客套话与像“救命”这样的紧急请求在说起来、或者写起来所花的时间是差不多的,然而明显后者更重要,也更有实在意义。信息论却不考虑一段消息的重要性或内在意义,因为这些是数据的质量的问题而不是数据量(数据的长度)和可读性方面上的问题,后者只是由概率这一因素单独决定的。
信息的度量
信息熵
美国数学家克劳德·香农被称为“信息论之父”。人们通常将香农于1948年10月发表于《贝尔系统技术学报》上的论文《通讯的数学理论》作为现代信息论研究的开端。这一文章部分基于哈里·奈奎斯特和拉尔夫·哈特利于1920年代先后发表的研究成果。在该文中,香农给出了信息熵的定义:
其中 为有限个事件x的集合, 是定义在 上的随机变量。信息熵是随机事件不确定性的度量。
信息熵与物理学中的热力学熵有着紧密的联络:
其中S(X)为热力学熵,H(X)为信息熵, 为波兹曼常数。 事实上这个关系也就是广义的波兹曼熵公式,或是在正则系综内的热力学熵表示式。如此可知,玻尔兹曼与吉布斯在统计物理学中对熵的工作,启发了信息论的熵。
信息熵是信源编码定理中,压缩率的下限。若编码所用的信息量少于信息熵,则一定有信息的损失。香农在大数定律和渐进均分性的基础上定义了典型集和典型序列。典型集是典型序列的集合。因为一个独立同分布的 序列属于由 定义的典型集的概率大约为1,所以只需要将属于典型集的无记忆 信源序列编为唯一可译码,其他序列随意编码,就可以达到几乎无损失的压缩。
例子
设有一个三个面的骰子,三面分别写有 , 为掷得的数,掷得各面的概率为
则
联合熵与条件熵
联合熵(Joint Entropy)由熵的定义出发,计算联合分布的熵:
条件熵(Conditional Entropy),顾名思义,是以条件概率 计算:
由贝叶斯理论,有 ,代入联合熵的定义,可以分离出条件熵,于是得到联合熵与条件熵的关系式:
链式法则
可以再对联合熵与条件熵的关系做推广,假设现在有 个随机变量 ,重复分离出条件熵,有:
其直观意义如下:假如接收一段数列 ,且先收到 ,再来是 ,依此类推。那么收到 后总消息量为 ,收到 后总消息量为 ,直到收到 后,总消息量应为 ,于是这个接收过程给出了链式法则。
互信息
互信息(Mutual Information)是另一有用的信息度量,它是指两个事件集合之间的相关性。两个事件 和 的互信息定义为:
其意义为, 包含 的多少信息。在尚未得到 之前,对 的不确定性是 ,得到 后,不确定性是 。所以一旦得到 ,就消除了 的不确定量,这就是 对 的信息量。
如果 互为独立,则 ,于是 。
又因为 ,所以
其中等号成立条件为 , 是一个双射函数。
应用
信息论被广泛应用在:
参考文献
- ^ F. Rieke, D. Warland, R Ruyter van Steveninck, W Bialek. Spikes: Exploring the Neural Code. The MIT press. 1997. ISBN 978-0262681087.
- ^ cf. Huelsenbeck, J. P., F. Ronquist, R. Nielsen and J. P. Bollback (2001) Bayesian inference of phylogeny and its impact on evolutionary biology, Science 294:2310-2314
- ^ Rando Allikmets, Wyeth W. Wasserman, Amy Hutchinson, Philip Smallwood, Jeremy Nathans, Peter K. Rogan, Thomas D. Schneider (页面存档备份,存于互联网档案馆), Michael Dean (1998) Organization of the ABCR gene: analysis of promoter and splice junction sequences, Gene 215:1, 111-122
- ^ Burnham, K. P. and Anderson D. R. (2002) Model Selection and Multimodel Inference: A Practical Information-Theoretic Approach, Second Edition (Springer Science, New York) ISBN 978-0-387-95364-9.
- ^ Jaynes, E. T. (1957) Information Theory and Statistical Mechanics (页面存档备份,存于互联网档案馆), Phys. Rev. 106:620
- ^ Charles H. Bennett, Ming Li, and Bin Ma (2003) Chain Letters and Evolutionary Histories (页面存档备份,存于互联网档案馆), Scientific American 288:6, 76-81
- ^ David R. Anderson. Some background on why people in the empirical sciences may want to better understand the information-theoretic methods (PDF). November 1, 2003 [2010-06-23]. (原始内容 (pdf)存档于2011-07-23).
外部链接
- 香农论文:通讯的数学理论 (页面存档备份,存于互联网档案馆)