舒尔不等式

舒尔不等式说明,对于所有的非负实数xyz和实数t,都有:

当且仅当x = y = z,或其中两个数相等而另外一个为零时,等号“=”成立。当t是正的偶数时,不等式对所有的实数xyz都成立。

证明

由于不等式是对称的,不失一般性,我们不妨设 。对t分类讨论:  时,

 

显然成立,这是因为左边的每一项都是非负的。同理, 时,

 

证毕。

推广

舒尔不等式有一个推广:

假设a、b、c是正的实数。如果(a,b,c)(x,y,z)同序的,则以下的不等式成立:

 

2007年,罗马尼亚数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式:

考虑 ,其中 ,而且  。设 ,并设 或者是凸函数,或者是单调函数。那么:

 

x = ay = bz = ck = 1、f(m) = mt时,即化为舒尔不等式。[1]

参考文献

  1. ^ Vornicu, Valentin; Olimpiada de Matematica... de la provocare la experienta; GIL Publishing House; Zalau, Romania.